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l’autre à l’intérieur. Dans le cas des ménisques, l’un au moins des points est à l’extérieur, du côté de la face la plus courbe.

On vérifie aisément ces résultats soit en appliquant la construction du § 109 à deux dioptres (on choisira les distances focales de chaque dioptre dans le rapport 1 : n), soit à partir des formules du paragraphe précédent.

Figure 150

2^o. — Lentilles symétriques (équiconvexes ou équiconcaves).

Pour les lentilles symétriques, le calcul de la position des plans principaux est immédiat. Il suffit de chercher, par rapport à l’un ou à l’autre dioptre, la position du point qui a pour image le point à égale distance des dioptres. D’où l’équation :

    $\left({\rm {R_{1}=R_{2}}}\right)$,    ${\frac {1}{s_{\mathrm {H} }}}+{\frac {2n}{d}}={\frac {n-1}{\mathrm {R} _{1}}}$,    $s_{\mathrm {H} }=-{\frac {\mathrm {R} _{1}d}{2n\mathrm {R} _{1}-\left(n-1\right)d}}$.

Écrivons :          $s_{\mathrm {H} }=-d:\left[2n-{\frac {\left(n-1\right)d}{\mathrm {R} _{1}}}\right]$.

Le second terme de la parenthèse est en général négligeable devant le premier ; le terme important est d : 2n. Pour la même courbure en valeur absolue, la distance $s_{\mathrm {H} }$ est plus grande pour les lentilles biconvexes $\left(\mathrm {R} _{1}>0\right)$ que pour les biconcaves $\mathrm {\left(R_{1}<0\right)}$.

Les plans principaux sont à la distance : (n — 1) d : n, pour une lame à faces parallèles ; ils sont plus rapprochés l’un de l’autre pour les lentilles biconvexes.

Calculons la distance δ des plans principaux.

On a : {{Centré|$\delta =d+s_{\mathrm {H} }={\frac {2\left(n-1\right)\mathrm {R} _{1}d_{\left(n-1\right)}d^{2}}{2n\mathrm {R} _{1}-\left(n-1\right)d}}$.

On met immédiatement cette expression sous la forme :

$\delta ={\frac {n-1}{n}}d-{\frac {n-1}{n}}{\frac {d^{2}}{2n\mathrm {R} _{1}-\left(n-1\right)d}}$.

Dans le second terme qui est de correction, négligeons au dénominateur le terme en d. À la même approximation prenons pour distance focale :

${\frac {1}{f}}={\frac {2\left(n-1\right)}{\mathrm {R} _{1}}}$,    d’où :    $\mathrm {R} _{1}=2f\left(n-1\right)$.