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Écrivons qu’un petit déplacement de la lentille moyenne laisse cette condition satisfaite :

${\frac {d\mathrm {A} }{de}}=a-2e+f_{1}-f_{3}=0$.          (2)

Substituons à a sa valeur dans (1) ; il vient :

$\left[e-\left(f_{1}+2f_{2}\right)\right]\left[e-f_{1}\right]=0$.

Il y a donc deux solutions :

α)                $e=f_{1}+2f_{2}$ ;

$a=f_{1}+4f_{2}+f_{3}$,    $a-e=2f_{2}+f_{3}$.

β)                $e=f_{1}$ ;

$a=f_{1}+f_{2}$,    $a-e=f_{2}$.

2^o. — Nous avons écrit des formules.

Montrons que les résultats obtenus sont évidents.

La solution β suppose que les verres 1 et 2 sont positifs. Elle revient simplement à faire coïncider le foyer $\mathrm {F} '_{1}$ de l’espace image de la lentille 1, et le foyer ${\rm {F_{3}}}$ de l’espace objet de la lentille 3. La lentille 2 ne sert à rien : on conçoit qu’on la puisse déplacer sans inconvénient. L’image définitive est renversée ; c’est évident, puisque en somme l’appareil, composé de deux verres utiles positifs (1 et 3), n’est qu’une lunette astronomique.

Passons à la solution α.

e et a – e étant positifs, $f_{1}$ et $f_{3}$ ont certainement le même signe. Pour que a soit petit par rapport aux trois distances focales, il faut prendre $f_{1}$ et $f_{3}$ d’un signe, $f_{2}$ de l’autre. Donders choisissait les lentilles extrêmes divergentes, la lentille moyenne convergente.

La condition $e=f_{1}+2f_{2}$ signifie que le foyer $\mathrm {F} '_{1}$ de l’espace image de la lentille 1 est en avant de la lentille 2 à deux fois sa distance focale principale. La condition $a-e=f_{3}+2f_{2}$ signifie que le foyer ${\rm {F_{3}}}$ de l’espace objet de la lentille 3 est en arrière de la lentille 2 à deux fois sa distance focale principale. Nous retombons sur la propriété bien connue d’une lentille, que la distance de l’objet à l’image est minima quand elle vaut 4 fois la distance focale.

L’image définitive est droite.

Le grossissement est variable, puisque, sans changer notablement la distance de l’objet (qui est en $\mathrm {F} '_{1}$) à l’image (qui par hypothèse doit être en ${\rm {F_{3}}}$), nous pouvons déplacer notablement la lentille 2.

Le lecteur vérifiera qu’on peut supposer les lentilles extrêmes positives et la lentille moyenne négative.

Dans l’appareil proposé par Donders, les lentilles divergentes sont de 12 dioptries ($f=8,33{\rm {cm}}$.), la lentille convergente est de 20 dioptries ($f_{2}=5{\rm {cm}}$.). La longueur de l’appareil est :

$a=20-2\left(8,33\right)=3^{\rm {cm}},33$.