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pour les radiations désignées par ′ et ″, ou l’égalité de leurs inverses. On trouve immédiatement :

${\frac {1}{f'_{1}}}+{\frac {1}{f'_{2}}}-{\frac {d}{f'_{1}f'_{2}}}={\frac {1}{f''_{1}}}+{\frac {1}{f''_{2}}}-{\frac {d}{f''_{1}f''_{2}}}$.

Mais on a

${\frac {1}{f'_{1}}}-{\frac {1}{f''_{1}}}=k_{1}\Delta n_{1}={\frac {1}{f_{1}}}{\frac {\Delta n_{1}}{n_{1}-1}}={\frac {1}{f_{1}v_{1}}}$.

${\frac {1}{f'_{1}f'_{2}}}=\left(n'_{1}-1\right)\left(n'_{2}-1\right)k_{1}k_{2}$.

La condition devient :

      ${\frac {1}{f_{1}v_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}v_{2}}}=dk_{1}k_{2}\left[\left(n'_{1}-1\right)\left(n'_{2}-1\right)-\left(n''_{1}-1\right)\left(n''_{2}-1\right)\right]$.       (1)

On vérifiera aisément que le double de la parenthèse peut s’écrire :

$\left(n'_{1}-n''_{1}\right)\left(n'_{2}+n'_{2}-2\right)+\left(n'_{2}-n''_{2}\right)\left(n'_{1}+n'_{1}-2\right)$

$=2\left[\Delta n_{1}\left(n_{1}-1\right)+\Delta n_{2}\left(n_{2}-1\right)\right]$.

Substituant dans (1), remplaçant $k_{1}k_{2}$ par sa valeur, il vient aisément :

$d={\frac {v_{2}f_{2}+v_{1}f_{1}}{v_{2}+v_{1}}}$.

Telle est la condition pour que les distances focalos principales soient les mêmes pour les radiations auxquelles se rapportent les paramètres $v_{1}$ et $v_{2}$ dans les deux lentilles.

Oculaires usuels.

Supposons les deux lentilles formées du même verre. On a :

$v_{1}=v_{2}$,    $d={\frac {f_{1}+f_{2}}{2}}$.

Cette condition est précisément réalisée dans les oculaires les plus fréquemment employés.

2^o. — Mais de ce que les distances focales sont égales, ne résulte pas l’achromatisme.

En effet, le système est défini par ses plans principaux et ses foyers ; nous venons seulement d’exprimer la condition pour que la distance d’un plan principal au foyer correspondant soit la même pour deux radiations.

Il faut encore exprimer que les plans principaux sont au même endroit pour ces deux radiations ; il est plus simple d’écrire directement que les foyers coïncident.

Le point de l’infini dans l’espace objet a son image à la distance ƒ₁ de la lentille 1, à la distance d – ƒ₁ de la lentille 2.

La distance q du point conjugué par rapport à la lentille 2 (foyer du système) est donnée par la formule :