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3^o. — De notre hypothèse fondamentale résulte encore que dans un milieu transparent et toutes choses égales d’ailleurs, l’éclairement varie en raison inverse du carré de la distance de la surface éclairée à la source éclairante.

D’un point P de la source, menons des droites s’appuyant sur le pourtour de l’élément de surface éclairée : nous réalisons un cône d’angle solide (fig. 223) :

$d\omega ={\frac {d\mathrm {S} \cdot \cos \theta }{r^{2}}}$ ;

dS est l’élément d’aire de la surface éclairée ; r est la distance ${\overline {\rm {P\mathrm {A} }}}$ du point P à un point Α de cet élément ; θ est l’angle de la droite PΑ et de la normale à l’élément.

FIGURE 223

L’élément de la source voisin du point P envoie dans le cône $d\omega$ une quantité d’énergie qui se conserve ; elle est de la forme $\mathrm {I} d\omega$, où le paramètre I (intensité) caractérise la portion de source dans la direction considérée. L’éclairement est donc de la forme :

${\frac {\mathrm {I} d\omega }{d\mathrm {S} }}={\frac {\mathrm {I} \cos \theta }{r^{2}}}$.

Il est en raison inverse du carré de la distance et proportionnel au cosinus de l’angle que fait avec les rayons la normale à l’élément de surface éclairée.

Comme les éclairements dus aux diverses parties de la source s’ajoutent arithmétiquement, la loi précédente vaut pour la source entière.

Elle n’a de sens que si les dimensions de la source sont assez petites devant r pour que r ait à peu près la même valeur pour tous.

4^o. — Il est théoriquement possible de démontrer par l’expérience la loi en raison inverse du carré de la distance à partir du 1^o. Utilisons le photomètre ci-dessus décrit. Prenons une bougie pour source S₂, quatre bougies pour source S₁ ; nous constatons que les distances à l’écran sont entre elles comme 1 et 2 pour l’égalité des éclats, par hypothèse pour l’égalité des éclairements. Toute la difficulté pratique