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2. Ombres.

L’hypothèse de la propagation rectiligne explique immédiatement la formation des ombres.

1^o. — Source ponctuelle.

Imaginons d’abord la source S ponctuelle. L’ombre portée par un corps opaque sur un écran (plan ou gauche) est limitée par la courbe d’intersection de cet écran avec le cône dont les génératrices, issues du point S, sont tangentes à la surface du corps. Si le corps opaque est une surface ouverte, le cône peut être déterminé en partie ou en totalité par la courbe qui la limite. La détermination des dimensions relatives du contour apparent du corps vu du point S et de l’ombre portée est une question de géométrie pure sur laquelle nous n’insisterons pas.

L’écran se partage donc en deux régions. L’une ne reçoit aucune lumière : c’est l’ombre ; l’autre est éclairée. Il y a discontinuité dans l’éclairement.

L’éclairement de la partie éclairée est continu, mais non uniforme : les portions de l’écran les plus éloignées de la source sont moins éclairées que les portions des plus voisines.

Pour fixer les idées, considérons le cas d’un point S et d’un écran plan. Posons que la lumière envoyée par le point S dans un cône élémentaire est proportionnelle à l’angle solide de ce cône ; posons que l’éclairement est le quotient de la lumière envoyée sur un élément de surface par l’aire de cet élément (chapitre XI) : ce sont les hypothèses les plus simples.

Soit dσ l’aire d’un élément de l’écran voisin du point P.

Il est vu du point S sous l’angle solide dω :

$d\omega =d\mathrm {S} .\cos \theta :r^{2}$.

FIGURE 2

L’éclairement E est donc :

$\mathrm {E} ={\frac {\mathrm {I} d\omega }{d\mathrm {S} }}={\frac {\mathrm {I} \cos \theta }{r^{2}}}={\frac {\mathrm {I} \cos ^{3}\theta }{\Delta ^{2}}},\qquad \Delta ={\overline {\rm {SO}}}.$

La courbe des éclairements a la forme représentée.

Interposons le corps CC ; la partie sombre DD de l’écran est