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Si la surface qui émet est une sphère identique dans toutes les directions, on a :

$\iint \mathrm {I} d\mathrm {S} =\mathrm {I} \iint d\mathrm {S} =4\pi r^{2}\mathrm {I}$,    $\mathrm {Q} =4\pi \mathrm {I}$.

Par analogie, quand la surface qui émet le flux total Q n’est pas identique dans toutes les directions, on appelle intensité moyenne sphérique le quotient :    $\mathrm {I} _{s}={\frac {\mathrm {Q} }{4\pi }}$.

L’éclat moyen sphérique est le quotient $\epsilon _{s}=\mathrm {I} _{s}:\sigma$, de l’intensité moyenne sphérique par la surface totale de la source.

Ici la moyenne est prise et par rapport à la surface qui émet, et par rapport aux angles solides.

Quand on définit les quantités I et ε pour une source finie, la moyenne n’est prise que par rapport à la surface qui émet.

4^o. — Éclairement.

On appelle éclairement E d’une surface matérielle ou géométrique le quotient du flux total qu’elle reçoit ou qui la traverse, par son aire.

Soit un élément dS éclairé par une seule source, d’intensité I pour la direction du faisceau utilisé, placé à une distance r suffisante.

La normale à l’élément dS fait avec les rayons un angle θ′.

L’éclairement est défini par les équations :

$d^{2}\mathrm {Q} =\mathrm {I} d\omega ={\frac {\mathrm {I} d\mathrm {S} \cos \theta '}{r^{2}}}$,    $\mathrm {E} ={\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{d\mathrm {S} }}={\frac {\mathrm {I} \cos \theta '}{r^{2}}}$.

Une surface éclairée reçoit par unité d’aire une quantité de lumière E qui est son éclairement. Introduisons l’éclat à la réception. La quantité E est reçue dans un cône d’angie solide 2π ; dans l’angle solide dω la quantité reçue est ε dω. On a :

$\mathrm {E} =\iint \epsilon d\omega$.

De même, par unité d’aire, la surface émet une quantité totale qu’on appelle ordinairement son pouvoir émissif : c’est l’analogue de l’éclaireinent à la réception. L’éclat à l’émission est encore relié au pouvoir émissif par la relation :

$d\mathrm {E} =\epsilon d\omega$,    $\mathrm {E} =\iint \epsilon d\omega$.

197. Intensité moyenne sphérique.

Revenons sur l’intensité moyenne sphérique.

Sa détermination se ramène à celle du flux total.

Plaçons la source étudiée au centre d’une sphère de rayon R.

Décomposons-la en petites aires S₁, S₂,… telles que l’éclairement soit peu différent respectivement en tous les points de chacune d’elles : déterminons ces éclairements E₁, E₂,…

Le flux total Q reçu par la sphère, l’éclairement moyen E et l’intensité moyenne sphérique I_s de la source sont :

$\mathrm {Q} =\Sigma {\rm {E_{i}S_{i}}}$,    $\mathrm {E} ={\frac {\mathrm {Q} }{\Sigma \mathrm {S} }}={\frac {\Sigma {\rm {E_{i}S_{i}}}}{4\pi \mathrm {R} ^{2}}}$,    $\mathrm {I} _{s}={\frac {\mathrm {Q} }{4\pi }}={\frac {\Sigma {\rm {E_{i}S_{i}}}}{4\pi }}={\rm {ER^{2}}}$.