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En raison du peu d’inclinaison des rayons sur l’axe, on a : $\omega =\mathrm {S} :p^{2}$, où p est la distance de l’objet au plan.

Les rayons qui dans l’espace objet sont dans le cône ω, forment dans l’espace image un cône d’angle ω′.

Soit p′ la distance de l’image au second plan principal H′ ; on a, d’après les propriétés des plans principaux : $\omega '=\mathrm {S} :p'^{2}$.

D’où la relation : $\omega p^{2}=\omega 'p'^{2}$.

FIGURE 230

Ceci posé, l’objet émet dans l’angle solide ω un flux :

$\mathrm {Q} =\sigma \epsilon \omega$.

Ce flux arrive sur l’image d’aire σ′ dans l’angle ω′ ; on peut dire qu’il émane ensuite de l’image dans ce même angle.

Tout se passe comme si l’image avait un éclat ε′ défini par la relation :

$\mathrm {Q} =\sigma '\epsilon '\omega '$.

D’où l’on tire :

$\sigma \epsilon \omega =\sigma '\epsilon '\omega '$,    ${\frac {\epsilon '}{\epsilon }}={\frac {\sigma \omega }{\sigma '\omega '}}={\frac {\sigma }{\sigma '}}{\frac {p'^{2}}{p^{2}}}$.

Appelons f et f′ les distances focales principales, n et n′ les indices dans les milieux extrêmes, on a (§ 116) :

${\frac {\sigma }{\sigma '}}=\left({\frac {p}{p'}}\cdot {\frac {f'}{f}}\right)^{2}$,    ${\frac {\sigma p'^{2}}{\sigma 'p^{2}}}={\frac {f'^{2}}{f^{2}}}={\frac {n'^{2}}{n^{2}}}$.

D’où enfin :               ${\frac {\epsilon '}{\epsilon }}=\left({\frac {n'}{n}}\right)^{2}$.

Ainsi le rapport des éclats de l’image et de l’objet est indépendant du système optique employé et de l’ouverture utile. Il ne dépend que du rapport des indices des milieux extrêmes. En particulier quand les milieux extrêmes sont identiques (l’air dans le cas général) : $\epsilon =\epsilon '$ : les éclats sont les mêmes.

2^o. — Ce théorème dérive immédiatement du théorème de Lagrange (§ 116). On a (fig. 231) :

${\rm {\left(O:I\right)=\sigma :\sigma '}}$.