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La figure 21 montre le sens de cette proposition.

L’image P′ que le miroir Α donne du point P, est devant le miroir B. Elle donne une image par réflexion sur ce miroir ; certains rayons issus de P tombent sur le miroir B après s’être réfléchis sur Α′.

L’image Q′ que le miroir Α donne du point Q, est derrière le miroir B. Elle ne donne pas d’image par réflexion sur ce miroir ; aucun rayon issu de Q ne tombe sur B après s’être réfléchi sur Α.

2^o. — Le calcul du nombre possible des images est maintenant simple.

Chaque série précédemment considérée se termine à l’image dont la distance au miroir pour lequel elle doit servir d’objet, est supérieure à 180°. Ces distances étant de la forme $k\theta \,+\,\alpha$, $k\theta \,+\,\beta$, les conditions à satisfaire sont :

$k\theta \,+\,\alpha \,<\,180^{\mathrm {o} },\qquad k\theta \,+\,\beta \,<\,180^{\mathrm {o} }.$

Autrement dit, dans chaque série le nombre d’images est égal au plus petit nombre k pour lequel on a :

$k\theta \,+\,\alpha \,>\,180^{\mathrm {o} },\qquad k\theta \,+\,\beta \,>\,180^{\mathrm {o} }$.

Ainsi dans la figure 21, l’angle θ vaut 153°. Pour qu’il y ait deux images, il faut que l’angle α soit inférieur à 27°.

Pour le point P, $\alpha \,=\,18^{\mathrm {o} }\,;$ il y a deux images.

Pour le point Q, $\alpha \,=\,47^{\mathrm {o} }\,;$ il n’y a qu’une image.

Pour les deux points et la série qui commence par une réflexion sur le miroir B, il n’y a qu’une image ; en effet, β vaut 135° et 106° suivant qu’on prend le point P ou le point Q.

3^o. — Cas où θ est partie aliquote de la circonférence.

a) Soit :          $360\,=\,2n\theta \,=\,{\mathrm {N} }\theta ,\qquad 180\,=\,n\theta$.

k est égal à n. Chaque série se compose de n images.

Mais les dernières images de chaque série sont confondues. Elles sont en effet à des distances 180 + α, 180 +β (comptées en sens inverses) de deux points dont la distance est α + β.

En convenant de compter l’objet pour une image, on trouve au total :

$(2n-1)+1=2n=\mathrm {N} ,$     images distinctes.

b) Soit :     $360\,=\,\left(2n\,+\,1\right)\,=\,\mathrm {N} \theta$,     $180\,=\,n\,+\,{\frac {\theta }{2}}$

Une des séries contient n images ; l’autre en contient n + 1 ; au total N + 1 images, y compris l’objet.

Les dernières images des deux séries sont confondues quand le point lumineux est sur la bissectrice des miroirs ; en tout N images, y compris l’objet.

4^o. — Cas où $\theta$ n’est pas partie aliquote de la circonférence.

Je crois inutile d’aller plus loin dans cette analyse, dont voici le résultat.