- 19. Considérations sur la symétrie.
1o. — Ce qui précède démontre un théorème fondamental : il est curieux qu’on ne l’énonce jamais.
Quel que soit le plan par rapport auquel on prend le symétrique d’un corps, on obtient toujours la même figure.
Il suffit donc de dire que les figures sont symétriques par rapport à un plan (énantiomorphes), sans préciser la position de ce plan.
En effet, deux plans quelconques se coupent suivant une droite : ils peuvent donc être considérés comme deux miroirs inclinés l’un sur l’autre. Appliquons successivement les deux parties du § 14 à un objet fini constitué par un certain nombre de points que nous devons traiter comme indépendants (§ 4). Il en résulte immédiatement que les images par rapport à ces plans se superposent par simple rotation : le théorème s’ensuit.
Quand deux figures se superposent par un déplacement sans déformation, on dit qu’elles sont congruentes.
Je reviens là-dessus dans l’Optique géométrique supérieure.
Voici des corollaires évidents, mais fondamentaux.
La figure obtenue par des réflexions successives sur un nombre pair de miroirs disposés comme on voudra, est identique à l’objet. En effet deux figures énantiomorphes d’une troisième sont identiques.
La figure obtenue par des réflexions successives sur un nombre impair de miroirs disposés comme on voudra, est énantiomorphe de l’objet.
2o. — Ici se pose une question intéressante, parce qu’elle généralise la notion impliquée par les deux expressions : triangles semblables, triangles homothétiques.
Pour aller du simple au complexe, soient deux figures identiques : elles sont superposables. Mais, pour les superposer effectivement, il faut leur imposer une translation et une rotation convenables (Voir ma Mécanique).
Deux triangles (ou deux figures quelconques dans l’espace) peuvent être semblables sans être homothétiques ; pour ramener deux triangles semblables coplanaires à l’homothétie, il faut imposer à l’un d’eux une rotation.
De même deux figures énantiomorphes ne sont généralement pas symétriques par rapport à un plan. L’énantiomorphie est indépendante des positions relatives dans l’espace ; la symétrie par rapport à un plan dépend des positions relatives.
D’où la solution du problème : Est-il possible de remplacer un nombre impair de réflexions par une seule réflexion ? Non : l’image définitive est énantiomorphe de l’objet, elle n’est généralement pas symétrique par rapport à un plan. Il n’existe généralement pas un miroir donnant, par une réflexion unique, une image superposée à l’image donnée par le nombre impair de miroirs.
Voici le problème parallèle : Est-il possible de superposer par sim-
