d’en formuler la démonstration), ou sont-elles indépendants de ces postulats (auquel cas elles constituent des postulats nouveaux que l’on doit ajouter à la liste) ?
Telle est la délicate question que l’étude logique des combinaisons de postulats a permis d’approfondir au cours du xixe siècle, spécialement pour ce qui regarde la géométrie. En la résolvant, on n’a pas seulement mis en évidence les différentes formes qu’il est possible de donner au système de la géométrie classique : mais on a reconnu en même temps la possibilité de construire un grand nombre d’autres géométries, qui ne satisfont pas aux mêmes postulats que la nôtre, mais qui sont, au regard de la logique, tout aussi légitimes.
Ces résultats apparaissent clairement dans l’un des ouvrages les plus importants qui aient été consacrés à la question des postulats géométriques, les Grundlagen der Geometrie de David Hilbert[1].
Hilbert énonce et classe les axiomes de la géométrie d’une manière nouvelle en les répartissant entre cinq groupes. Il montre ensuite comment sur chacun de ces cinq groupes d’axiomes, et sur leurs combinaisons, on peut fonder une série de géométries hiérarchiquement organisées. Notre géométrie classique est celle qui satisfait à la totalité des axiomes énoncés ; pour chacune des autres (que l’on nomme géométrie partielle), une partie seulement de ces axiomes seront vérifiés.
Ainsi se trouvent définitivement élucidées, en particulier, les questions qu’avait fait naître, à son apparition, la « géométrie non-euclidienne. »
On sait que pendant des siècles les géomètres s’étaient en vain appliqués à démontrer logiquement la proposition qui fait l’objet du cinquième Postulat d’Euclide :
- ↑ 1899 ; 3e éd..
