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en rayant des axiomes de la géométrie, non seulement le cinquième postulat d’Euclide, mais aussi certains axiomes relatifs aux lignes droites (dans la géométrie de Riemann, les lignes droites ne sont pas indéfiniment prolongeables et se coupent toutes entre elles, en sorte qu’il n’existe pas de droites parallèles)[1].


Après avoir déterminé les relations logiques qui lient les postulats et la géométrie et étudié les différentes combinaisons que l’on en peut former, il était naturel de soumettre à une investigation analogue les notions premières, objets des définitions de la science mathématique, et notamment les notions fondamentales de nombre, de grandeur et de quantité.

La difficulté que l’on éprouve à donner une définition arithmétique satisfaisante des nombres irrationnels et des opérations relatives à ces nombres avait été, nous l’avons rappelé, l’une des pierres d’achoppement de la mathématique hellénique. Aussi les modernes ont-ils dû chercher de nouveaux moyens de surmonter cette difficulté. Leurs efforts ont principalement tendu à dégager, sous une forme aussi simple que possible, les postulats grâce auxquels on peut déduire la notion de nombre irrationnel de celle de nombre entier. Certains d’entre eux espéraient ainsi réaliser cette unification des mathématiques, que l’on a parfois appelée « arithmétisation de l’analyse », et qui permettrait de faire découler toutes les

  1. Comme exempte remarquable de « géométrie partielle », citons également la géométrie non archimédienne qui a fait l’objet d’études intéressantes. Cette géométrie écarte le postulat dit « d’Archimède » d’après lequel étant donné deux grandeurs de même espèce, il existe toujours deux multiples de la plus petite telle que la plus grande soit comprise entre ces deux multiples.