droit d’appeler la totalité de l’extension d’une fonction. Pour ne citer qu’un exempte, rappelons qu’une même série de fonctions rationnelles, convergeant dans différentes régions du plan, peut représenter des fonctions différentes absolument quelconques. Aussi les géomètres ne sont-ils pas d’accord sur la détermination des conditions sous lesquelles une même série de fonctions rationnelles pourra être considérée comme représentant une même fonction de tout le plan. C’est à ce problème que l’on est ramené lorsqu’on cherche quel peut être le prolongement d’une fonction au delà d’une ligne singulière fermée. Il ne s’agit pas d’autre chose que de déterminer l’extension totale de la fonction.
Il semble donc que, loin de pouvoir être posée de prime abord, l’extension d’une fonction soit au contraire l’un des objets que nous poursuivons. C’est l’une des tâches qui incombent à l’analyste, que de conclure de l’extension partielle d’une fonction son extension totale. Or, précisément, il se trouve que le prolongement d’une fonction ne constitue pas, en lui-même, un problème déterminé. On ne peut le résoudre qu’en particularisant la question, c’est-à-dire en imposant à l’idée générale de fonction telles ou telles conditions restrictives qu’il est nécessaire de dégager.
De quelque manière que nous abordions la notion de fonction nous nous trouverons toujours ramenés à la conclusion formulée plus haut. La notion de fonction est avant tout, pour le mathématicien, un indéfini, un indéterminé. L’idée que nous en avons est plus riche et plus pleine que toutes les définitions ou expressions que nous pouvons donner ou construire. Par conséquent une théorie logique des fonctions, quelque parfaite soit-elle, — c’est-dire avec quelque soin qu’en aient été choisis les postulats et quelque loin
