Manifestement, l’expression (S) n’offre un sens que si nous savons calculer de proche en proche les coefficients a0, a1, a2, …, et, pour cela il est nécessaire : 1o que la valeur de chaque coefficient ai dépende uniquement de la valeur d’un nombre fini de quantités, A1, A2…, Ap (ainsi que de l’indice i, qui est un nombre entier) ; 2o que chacun des coefficients ai soit une fonction connue de A1, …, Ap et i.
Or nous imaginons que nous ne connaissions encore que les fonctions algébriques Les coefficients ai devront donc être des fonctions algébriques de A1, etc. ; et ainsi se trouvera définie en toute rigueur une famille de fonctions transcendantes que nous pouvons appeler transcendantes de la première classe.
Cette classe de transcendantes comprend, vrai dire, les fonctions les plus usuelles de l’Analyse. Cependant notre faculté de conception la dépasse infiniment. Nous constatons immédiatement que nous pouvons construire une seconde classe de transcendantes, définies elles aussi par la série (S), mais pour lesquelles chaque coefficient ai sera une fonction transcendante de la première classe des quantités A1, …, Ap (et de i). Et rien ne nous empêchera de continuer indéfiniment. De proche en proche nous définirons un ensemble infini de classes de fonctions de plus en plus compliquées. Réussirons-nous, cependant, à épuiser par ce moyen le groupe des fonctions qui sont représentables sous la forme (S) ? Non ; car nous pouvons toujours imaginer une définition du nombre ai, assurant la convergence de la série S, et telle, cependant, que ai ne soit pas une fonction connue d’un nombre fini de quantités. Sans doute, en poursuivant notre construction, nous obtiendrions des expressions s’approchant de plus en plus des fonctions qui sont réfractaires à nos formules, mais jamais ces fonc-
