bien définies, opérations qui coïncident rigoureusement avec les opérations de l’arithmétique dans le cas où les rapports sont des nombres rationnels.
Ces remarques nous incitent à donner aux rapports de longueurs le nom de nombres ; nous les appellerons « nombres algébriques » et les qualifierons irrationnels dans le cas où ils ne sont pas des nombres rationnels.
En particulier, si nous prenons la longueur pour longueur-unitė, nous regarderons le rapport comme étant le « nombre » qui mesure la longueur : quidquid refertur ad unitatem ut linea recta ad aliam rectam, écrit en 1717 le professeur Christian Wolf, numerus dicitur[1].
Les nombres irrationnels se prêtent exactement aux mêmes opérations que les nombres rationnels.
98. Comparaison des rapports de grandeurs hétérogènes. – Il importe de remarquer que si, au lieu de rapports de longueurs, nous considérions des rapports d’angles, ou d’aires, ou de volumes, nous nous trouverions toujours définir les mêmes nombres. En effet on peut toujours comparer entre eux deux rapports de grandeurs hétérogènes de types différents et décider si ces rapports sont égaux ou si l’un est plus petit que l’autre : un rapport d’angles, par exemple, sera dit égal à un rapport de longueurs s’il est le même nombre rationnel ou s’il a la mère valeur approchée (voir le no précédent) quelque foin que l’on pousse l’approximation ; si les deux rapports ne sont pas égaux celui dont la valeur approchée est la plus grande (lorsque l’approximation est poussée très loin sera dit plus grand que l’autre, et ainsi de suite. Il est dès lors permis de dire que deux rapports égaux quelconques sont égaux à un même nombre.
99. Nombres proportionnels. – Revenons maintenant après un long détour, à la notion de mesure introduite au no 61. Nous
- ↑ Elementa matheseos universæ, Halle 1717 t. I, p. 21, cf. Newton (Arithmetica universalis (707) : Per numerum abstractam quantitatis cujusvis ad alium ejusdem generis quantitatem, quae pro unitate habetur, rationem intelligimus.
