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La multiplication est une opération commutative, parce que le produit de $a$ par $b$ est égale au produit de $b$ par $a\,;$ on a

$a\times b=b\times a.$

Nous pourrons donc sans ambiguïté, appeler le nombre $\alpha \,:$ produit des deux nombre $a$ et $b.$

Le produit de trois nombres (ou trois facteur) $a,b,c,$ sera, par définition le produit effectué ^[1]$(a\times b)$ par le nombre $c.$ On définira pareillement le produit d’un nombre quelconque de facteurs.

La multiplication est une opération univoque (voir plus haut ce qui concerne l’addition). C’est une opération associative, car on a

$(a\times b)\times c=a\times (b\times c).$

On pourra donc définir le produit $\beta$ des trois nombres $a,b,c,$ par l’égalité sans parenthèses :

$\beta =a\times b\times c.$

La multiplication est une opération distributive, — propriété exprimée par l’égalité ^[2]

$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c).$

8. Division. — On confond, sous le nom de division, deux opérations différentes, la division exacte et la division approchée.

Division exacte. — Effectuer la division exacte d’un nombre $a$ par un nombre plus petit, $b$ c’est trouver un nombre $q$ qui vérifie l’égalité

$q\times b=a.$

Si le nombre $q$ existe ($a$ est alors nécessairement supérieur à $b$ et à $q$), il est appelé quotient de $a$ par $b,$ ou rapport de $a$ à $b\,;$ le nombre $a$ est appelé dividende de la division, et le nombre $b$ diviseur.

1. La parenthèse a toujours la même signification, qu'il s'agisse d'un produit ou d'une somme (cf. p. 7, note 3).
2. Cette égalité montre comment peuvent être distribués les termes du produit.