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La division de $a$ par $1$ donne comme quotient le nombre $a$ lui-même.

Le quotient de $a$ par $b$ défini par l’égalité $q\times b=a,$ est représenté par les symboles

${\frac {a}{b}}\quad {\text{ou}}\quad a\,:\,b,$

on écrira donc qu’il est égal à ces symboles.

La division exacte n’est pas toujours possible (caractère qui la distingue des trois opérations précédemment définies). En d’autres termes, il n’existe pas toujours un quotient $q$ qui, multiplié par un diviseur donné $b$, soit égal à un dividende donné $a$ supérieur à $b$. Nous exprimerons l’existence de $q$ en disant que $a$ est divisible par $b.$ Lorsque $a$ est divisible par $b$, $a$ est un multiple de $b$, $b$ est un diviseur de $a$.

Division approchée — Soient $a$ et $b$ deux nombres quelconques ($a$ supérieur à $b$). Effectuer la division approchée de $a$ (dividende) par $b$ (diviseur), c’est trouver deux nombres $q$ et $r$ tels que

$a=b\times q+r,$

$r$ étant inférieur à $b.$

Le nombre $q$ est appelé quotient de la division, et le nombre $r$ reste. Le quotient est le plus grand multiple du diviseur qui soit contenu dans le dividende^[1].

9. Elévation aux puissances — Lorsque les facteurs d’un produit sont tous égaux, la multiplication s’appelle élévation à une puissance ^[2]. Élever le nombre $a$ à la puissance $p,$ c’est former un produit de $p$ facteurs dont chacun est égal à $a$. Le nombre $a$ s’appelle base, le nombre $p$ s’appelle exposant. Le résultat, que

1. Exemples : La division de $24$ par $3$ donne comme quotient $8,$ reste $0\,;$ donc $24$ est multiple de $3.$ La division de $25$ par $3$ donne comme quotient $8,$ reste $1.$
2. Puissance (potentia) est la traduction du mot grec δύναμη que les Pythagoriciens et Diophante employaient exclusivement dans le sens de puissance deuxième.