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Nous pouvons donc, finalement, écrire l’égalité

$\mathrm {S} _{1}+(1+n)^{2}=n+3\times \mathrm {S} +3\times \mathrm {S} _{2}+\mathrm {S} _{3}$

ou, en retranchant des deux membres (c’est-à-dire des deux côtés du signe $=)$ le nombre $\mathrm {S} _{3}$ qui est égal à lui-même ;

$(1+n)^{3}=n+3\times \mathrm {S} +3\times \mathrm {S} _{2}.$

Mais je connais la somme $\mathrm {S} \,:$ elle est égale (12) à ${\frac {n\times (n+1)}{2}}.$ En la remplaçant par cette valeur dans mon égalité et retranchant des deux côtés du signe $=,$ la somme $n+{\frac {3\times n\times (n+1)}{2}},$ j’obtiens la valeur cherchée de $\mathrm {S} _{2}\,:$

$3\times S_{2}=(1+n)^{3}-n-{\frac {3\times n\times (n+1)}{2}}.$

En appliquant les règles de la transformation algébrique que nous étudierons plus loin, on mettrait l’expression de $\mathrm {S} _{2}$ sous la forme plus simple que voici :

$\mathrm {S} _{2}={\frac {n\times (n+1)\times (2n+1)}{6}}.$

18. Nombres polygonaux. – Nous avons vu que la somme des $n$ premiers nombres a pour valeur ${\frac {n\times (n+1)}{2}}.$ Les Pythagoriciens donnaient au nombre ${\frac {n\times (n+1)}{2}}$ le nom de « nombre triangulaire », et ils justifiaient ainsi cette appellation. Considérons un triangle isocèle formé de points, comme l’indique

$\qquad \qquad {\begin{aligned}&\qquad \ \ \bullet \\&\quad \ \ \bullet \quad \bullet \\&\ \ \ \bullet \quad \bullet \quad \bullet \\&\bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \end{aligned}}$
la figure ci-contre. Nous voyons, que si $n$ est le nombre de points que contient la base du triangle $(4$ sur notre figure), le nombre total des points du triangle

n’est autre que $1+2+3+n,$ c’est-à-dire ${\frac {n\times (n+1)}{2}}.$ Nous donnerons donc, des nombres triangulaires la définition suivante : Le nombre triangulaire de rang $n$ est égal à la somme des $n$ premiers nombres entiers.

La notion de nombre triangulaire avait conduit les anciens à définir toute une série de classes de nombres qu’en raison de cer-