21. Progressions géométriques. – On appelle ainsi une suite de nombres dits termes de la progression ; dont chacun est moyen géométrique entre ses deux voisins.
Représentons les termes de la suite par les symboles (cf. 16) :
![{\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\ldots ,\,a_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2778e7c8737eb21657352168bd578d5d8021777c)
et supposons que chacun d’eux se déduise du précédent en le multipliant par un nombre[1]
(toujours le même et différent de ![{\displaystyle 1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c35bda0895ab194d390c91d42714692358ade30)
Nous aurons, pour les termes successifs de la progression, les valeurs suivantes :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}a_{1}\,;\qquad a_{2}=&a_{1}\times b\,;\qquad &a_{3}=a_{2}\times b=&a_{1}\times b^{2}\,;\\a_{4}=a_{3}\times b=&a_{1}\times b^{3}\,;&\quad \ldots \,;\quad a_{n}=&a_{1}\times b^{n-1}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198d645ee93dde80eb8f90609d774da61096744d)
et, par conséquent :
![{\displaystyle a_{2}^{2}=a_{1}\times a_{1}\,;\qquad a_{3}^{2}=a_{2}\times a_{1}\,;{\text{ etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c7b2dc61d576804164286462e342c792c1c914)
Le nombre
est appelé « raison » de la progression.
Proposons-nous de calculer la somme des
premiers termes d’une progression géométrique dont le premier terme est
et la raison
La somme cherchée a pour valeur
![{\displaystyle a_{1}\times \left(1+b+b^{2}+\ldots +b^{n-1}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780061f2cb6d5b1f31282631e70a6f4899c261c5)
Pour simplifier cette expression, effectuons la multiplication de la somme
par le nombre
Il est facile de vérifier que nous obtenons, comme produit, le nombre
En d’autres termes, nous avons l’égalité
![{\displaystyle 1+b+b^{2}+\ldots +b^{n-1}={\frac {b^{n}-1}{b-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5900f346feeb9ebd589c705376a494b9326fde)
et il en résulte que la somme cherchée a pour valeur le produit[2]
![{\displaystyle a_{1}\times {\frac {b^{n}-1}{b-1}},\quad {\text{ou}}\quad {\frac {a_{1}\times b^{n}-a_{1}}{b-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cccc09903b52ce74f22470fd9592a469522c4d58)
- ↑ On déduit de là que
![{\displaystyle {\frac {a_{2}}{a_{1}}}={\frac {a_{3}}{a_{2}}}={\frac {a_{4}}{a_{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ff4368baf24ea7b9932da631bec097d8890f96)
etc.
- ↑ « Soit, dit Chuquet dans son Triparty (1484), – le dernier nombre multiplié par le dénominateur de la proportion [c.-à.-d. par la raison de la progression], de laquelle multiplication soit ôté le premier, soits ou autre nombre quel qu’il soit ; et le résidu soit party [divisé) par
moins que n’est le dénominateur d’icelle [la raison] »,