22. Diviseurs et multiples. – L’étude des nombres cardinaux nous suggère une foule de questions d’ordres divers qui sont généralement aussi ardues à résoudre qu’elles sont simples à énoncer. L’effort que ces questions exige de nous n’a point peu contribué, semble-t-il, à leur conférer ce caractère de beauté mystérieuse qui a de tous temps captivé les mathématiciens.
C’est la théorie de la division qui a donné lieu au plus grand nombre d’investigations, et c’est d’elle que nous allons tout d’abord dire quelques mots.
Nous avons vu (8) qu’un nombre est dit diviseur d’un nombre lorsque est divisible par est dit, en ce cas, multiple de
Lorsqu’un même nombre en divise séparément deux autres et il divise évidemment leur somme et leur différence. Le quotient est égal à la somme ou à la différence des quotients de et de D’autre part, pour qu’un produit de plusieurs facteurs soit divisible par un nombre il suflit que l’un des facteurs du produit soit divisible par
L’application de ces règles (qui résultent de la définition même des opérations fondamentales) permettra de résoudre toute une série de problèmes relatifs aux diviseurs et aux multiples des nombres.
Étant donné un nombre quelconque, quels sont les diviseurs de ce nombre ? Combien y en a-t-il ?
Étant donné plusieurs nombres, quels sont les divisiseurs communs à ces nombres ? Quel est le plus grand de ces diviseurs communs ? Quels sont les multiples communs aux plusieurs nombres ? Quel est le plus petit de ces multiples ?
Ces diverses questions sont traitées, avec autant d’élégance que de rigueur, dans les Éléments d’Euclide vide infra 167).
Pour y répondre rapidement, il est commode de mettre les nombres proposés sous la forme de produits ayant pour facteurs certains nombres que l’on appelle « nombres premiers » ou « facteurs premiers ». Les nombres premiers jouent dans l’Arithmé-
