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Dans cette expression, les lettres $a,b,\ldots l$ désignent les facteurs premiers distincts (ces facteurs pourraient se réduire à un seul) ; les lettres $\alpha ,\beta ,\ldots ,\lambda$ sont les exposants de ces facteurs ’s’ils sont égaux à $1,$ on ne les écrit pas.

L’opération que nous effectuons lorsque nous mettons $n$ sous la forme indiquée est appelée « décomposition du nombre $n$ en facteurs premiers ». Il n’y a point de procédé infaillible permettant de trouver^[1] du premier coup les facteurs premiers $a,b,\ldots ,l$ qui composent un nombre. On ne peut effectuer la décomposition qu’en tàtonnant, c’est-à-dire en recherchant successivement si le nombre est, ou non, divisible par les nombres premiers de plus en plus grands $2,3,5,7,$ etc.

24. – Revenons maintenant à la théorie de la division. Pour qu’un nombre $n$ soit divisible par un nombre $m,$ il faut et il suflit que chacun des facteurs premiers de $m$ se trouve parmi les facteurs premiers de $n$ avec un exposant au moins égal. Cette remarque nous permettra de former facilement tous les diviseurs d’un nombren dès que nous aurons décomposé ce nombre en facteurs premiers.

Soient, d’autre part, deux nombres $n$ et $m$ décomposés en facleurs premiers. Nous calculerons sans peine leur plus grand commun diviseur et leur plus petit commun multiple.

Le plus grand commun diviseur^[2] est le produit obtenu en prenant pour facteurs les facteurs premiers communs aux deux nombres et allectant chacun d’eux du plus faible des deux exposants qu’il a dans les décompositions des deux nombres.

1. On observera qu’an sujet de la décomposition en facteurs premiers deux problèmes se posent ; 1^o démontrer qu’il existe toujours un produit de facteurs premiers égal à un nombre donné quelconque $n,$ 2^o trouver effectivement ces facteurs. Il a été question ci-dessus du premier problème. Nous faisons maintenant alluston au second.
2. Les arithméticiens démontrent, on le sait, que l’on peut obtenir le plus grand commun diviseur de deux nombres en appliquant la règle suivante : On divise le plus grand nombre, $a,$ par le plus petit, $b\,;$ si la division se fait exactement, $b$ est le plus grand diviseur cherché ; sinon on divise $b$ par le reste $r$ de la division effectuée ; puis on divise le diviseur $r$ de cette nouvelle division par le reste qu’elle fournit ; et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on ait une division qui se fasse exactement ; le dernier nombre employé comme diviseur sera le plus grand commun diviseur cherché.