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Le plus petit commun multiple de $m$ et $n$ est le produit obtenu en prenant pour facteurs tous les facteurs premiers de $m$ et $n$ et affectant chacun d’eux du plus grand des exposants qu’il a dans les décompositions des deux nombres (ou, – s’il ne figure que dans l’une des deux décompositions, – de l’exposant qu’il y a). Le nombre ainsi formé est le plus petit nombre qui soit divisible par $m$ et par $n.$

On définira semblablement le plus grand commun diviseur et fe plus petit commun multiple de trois nombres ou davantage.

Deux nombres qui n’ont pas d’autre diviseur commun que $1$ sont dits premiers entre eux.

25. Congruences. – On se sert souvent, pour étudier les propriétés relatives à la divisibilité des nombres, d’une terminologie spéciale, qui est due à Gauss^[1] et que nous allons indiquer.

Supposons que deux nombres différents $n$ et $n',$ étant divisés par un même nombre $m,$ donnent un même reste. Nous dirons que les deux nombres sont congrus suivant le module $m$ et nous écrirons :

$n\equiv n'\quad ({\text{mod}}.m).$

La relation ainsi écrite est appelée congruence.

Cette terminologie est avantageuse parce qu’elle permet d’exprimer en termes analogues un grand nombre de faits différents.

Ainsi, pour indiquer que $r$ nombre inférieur à $m,$ est le reste de la division de $n$ par $m,$ nous écrirons :

$n\equiv r\quad ({\text{mod}}.m).$

Pour exprimer que $n$ est divisible par $m,$ nous écrirons :

$n\equiv 0\quad ({\text{mod}}.m).$

Les congruences jouissent, d’autre part, de propriétés fondamentales dont l’énoncé est facile à saisir : Deux nombres congrus à un troisième, suivant le module $m,$ sont congrus entre eux ; si l’on ajoute un mème nombre aux deux membres d’une congruence,

– ou si l’on multiplie ces deux membres par un même nombre,
– le résultat est encore une congruence, etc.

1. Disquisitiones Arithmeticae, Leipzig, 1801.