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Au lieu de constater que certains nombres sont congrus entre eux suivant certains modules, on peut se proposer de déterminer, – s’ils existent, – les nombres inconnus qui peuvent être congrus, suivant un module donné, à des nombres donnés.

Considérons, par exemple, la congruence

$a\times x\equiv c\quad ({\text{mod}}.b)$

où $a,b,c,$ sont trois nombres donnés. Nous ne connaissons pas encore la valeur du nombre $x,$ et nous ignorons même a priori s’il existe un nombre entier $x$ tel que le produit $a\times x$ soit congru à $c$ suivant le module $b.$ Si alors nous trouvons un nombre $x$ (ou plusieurs) satisfaisant aux conditions requises, nous dirons que nous avons « résolu la congruence » et que la valeur trouvée en est une « solution »^[1]. Si, par contre, il n’existe pas de nombre $x$ qui en soit solution, nous dirons que la congruence est « impossible ».

On peut proposer des congruences plus compliquées que la précédente, par exemple une congruence de la forme

$a\times x^{2}+b\times x+c\equiv 0\quad ({\text{mod}}.m)$

ou une congruence de la forme

$x^{n}\equiv a\quad ({\text{mod}}.m),$

où $n$ est un exposant quelconque et $x$ un nombre inconnu. La résolution de ces congruences (à supposer qu’elles soient possibles) présente souvent de grandes diflicultés.

Les congruences ont été étudiées par les plus grands arithméticiens modernes, Euler, Lejeune Dirichlet, Legendre, Gauss.

26. Résolution des équations arithmétiques. – Reprenons la congruence

$a\times x\equiv c\quad ({\text{mod}}.b)$

que nous avons écrite plus haut. Supposons la possible, et considérons la différence des deux nombres $a\times x$ et $c.$ D’après la définition des congruences, cette différence est divisible par $b\,:$

1. Appelons $d$ le plus grand commun diviseur de $a$ et $b.$ On démontre que si $c$ est divisible par $d,$ le congruence proposée a plusieurs solutions elle en a $d\,;$ si $c$ n’est pas divisible par $d,$ la congruence est impossible.