Page:Boutroux - Les principes de l’analyse mathématique.djvu/42

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

appelons $y$ le quotient. Nous aurons, suivant que $a\times x$ est plus grand ou plus petit que $c,$ l’une des égalités

a\times x-c=b\times y\quad {\text{ou}}\quad c=a\times x+b\times y.

Ainsi, dans le cas où la congruence adinet des solutions, il existe des couples de nombres $x$ et $y$ satisfaisant à l’une des égalités écrites ci-dessus. Réciproquement, s’il existe un couple de nombres $x$ et $y$ satisfaisant à l’une de ces égalités, le nombre $x$ de ce couple est une solution de la congruence indéterminée.

Une égalité telle que

a\times x+b\times y=c

et, d’une manière générale, toute égalité (équation) qui doit être satisfaite lorsque l’on donne à $x$ et $y$ des valeurs que nous ne connaissons pas encore, est appelée « équation arithmétique indéterminée »^[1]. À priori nous ignorons quelles sont les valeurs de $x$ et $y\,;$ nous ne savons même pas s’il est possible de trouver deux nombres $x$ et $y$ vérifiant l’égalité donnée. Lorsque de tels nombres existent, ils sont « appelés solutions de l’équation ». « Résoudre une équation », c’est en trouver les solutions.

Comine le montre l’exemple que nous venons de donner. l’étude des équations arithmétiques est intimement liée à celle des congruences.

27. – Les arithméticiens ont étudié de nombreuses équations indéterminées^[2], et quelques-unes de ces équations sont restées célèbres.

↑ Les mots « équation », « solution », que nous employon ici sont empruntés à l’algébre. Et en effet l’égalité proposée n’est autre qu’une équation algébrique (voir Deux. Liv.) Mais nous ne rechercherous ici que celles des solutions de l’équation qui sont des nombres entiers. L’équation algébrique $a\times x+b\times y=c,$ à deux inconnues, n’aurait pas de solutions déterminées (elle pourrait être satisfaite quel que soit $x$ pourvu que $y$ ait une valeur convenable) : c’est pourquoi cette équation est appelée, en algèbre comme en arithmétique, « équation indéterminée ».
↑ Diophante, le grand arithméticien grec, qui vécut probablement au iv^e siècle ap. J.-C., étudia de nombreuses équations indéterminées. Il chercha en particulier dans quels cas l’équation $\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} y^{2}+\mathrm {C} =y^{2},$ où $\mathrm {A,B,C}$ sont trois nombres entiers (ou, plus généralement, rationnels, vide infra, § 6) admet pour solutions des nombres $x$ et $y$ entiers (ou

[1] Les mots « équation », « solution », que nous employon ici sont empruntés à l’algébre. Et en effet l’égalité proposée n’est autre qu’une équation algébrique (voir Deux. Liv.) Mais nous ne rechercherous ici que celles des solutions de l’équation qui sont des nombres entiers. L’équation algébrique $a\times x+b\times y=c,$ à deux inconnues, n’aurait pas de solutions déterminées (elle pourrait être satisfaite quel que soit $x$ pourvu que $y$ ait une valeur convenable) : c’est pourquoi cette équation est appelée, en algèbre comme en arithmétique, « équation indéterminée ».

[p42-2] Diophante, le grand arithméticien grec, qui vécut probablement au iv^e siècle ap. J.-C., étudia de nombreuses équations indéterminées. Il chercha en particulier dans quels cas l’équation $\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} y^{2}+\mathrm {C} =y^{2},$ où $\mathrm {A,B,C}$ sont trois nombres entiers (ou, plus généralement, rationnels, vide infra, § 6) admet pour solutions des nombres $x$ et $y$ entiers (ou

[1]

[2]