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En effet appelons $\mathrm {Z'Z}$ cette droite, qui sera^[1] dans les angles $\mathrm {XOY}$ et $\mathrm {X'OY'}$ si $a=\operatorname {tg} \varphi$ est positif. et dans les angles $\mathrm {X'OY}$ et $\mathrm {Y'OX}$ si $a=\operatorname {tg} \varphi$ est négatif (fig. 189 ou 190).

Quel que soit le point $\mathrm {M}$ que l’on considère sur $\mathrm {OZ}$ ou $\mathrm {OZ'}$ on aura, en appelant $\mathrm {P}$ la projection de ce point sur l’axe des $x$ (n^o 215) :

$\mathrm {{\frac {PM}{OP}}=\operatorname {tang} MOP} \,;$

or, les quantités $\mathrm {PM,OP} ,$ $\operatorname {tang} \mathrm {MOP} ,$ essentiellement positives, sont respectivement égales à $\left|y\right|,$ $\left|x\right|$ $\left|\operatorname {tang} \varphi \right|$ donc

${\frac {\left|y\right|}{\left|x\right|}}=\operatorname {tang} \varphi \quad$ ou^[2] $\quad {\frac {y}{x}}=\pm \operatorname {tang} \varphi \,;$

observant, que pour toutes les positions possibles du point $\mathrm {M}$ sur $\mathrm {Z'OZ} ,$ ${\frac {y}{x}}$ et $\operatorname {tg} \varphi$ ont même signe [car les deux coordonnées $x$ et $y$ ont même signe ou des signes contraires suivant que $\operatorname {tg} \varphi >0$ ou $\operatorname {tg} \varphi <0]$ je conclus que l’on a dans tous les cas^[3] :

${\frac {y}{x}}=\operatorname {tang} \varphi =a.$

La droite $\mathrm {Z'OZ}$ représente donc bien le polynome $ax\,;$ c’est pourquoi, j’appellerai cette droite « droite $y=ax$ »^[4].

2^o Appelant $\mathrm {P}$ un point quelconque de l’axe des $x,$ et $\mathrm {M}$ le point de la droite $y=ax$ qui a pour abscisse $\mathrm {OP} =x,$ ajoutons à l’ordonnée $\mathrm {PM}$ la longueur $b$ si $b>0,$ ou retranchons en la longueur $b,$ égale à $-b,$ si $b<0.$ Nous obtenons ainsi un point $\mathrm {M} _{1},$ ou $\mathrm {M} _{2}$ qui

1. Quel que soit le nombre relatif $a,$ il existe un angle $\varphi$compris entre $0$ et $\pi$ dont la tangente est égale à $a.$ Cet angle est aigu ${\Big (}{\Big .}$compris entre $0$ et $\left.{\frac {\pi }{2}}\right)$ si $a>0,$ obtus (compris entre ${\frac {\pi }{2}}$ et $\pi )$ si $a<0.$
2. Le signe $\pm$ signifiant : plus ou moins ; je veux dire que l’égalité a lieu aux signes près.
3. On arriverait plus rapidement à cette conclusion en se référant aux discussions relatives aux signes qui ont été déjà faites en trigonométrie (c’est ainsi que nous procéderons au chap. iv pour définir les coordonnées polaires).
4. Nous dirons aussi (cf, chap. iv) : « droite d’équation $y=ax$ ».