(intégrales définies).
566. — Déterminer la, ou, plus exactement. les fonctions primitives, d’une fonction c’est résoudre ou intégrer l’équation différentielle [vide, 487] : le problème de la recherche des fonctions primitives (ou calcul des intégrales indéfinie, voir chap. ii, § 5) n’est donc qu’un cas particulier du problème étudié au $ 4. — Mais l’on peut donner de la fonction primitive une interprétation géométrique spéciale, fort avantageuse, qui n’a point d’équivalent dans la théorie générale des équations différentielles. Nous allons exposer cette interprétation, on point exactement telle qu’elle se présenta historiquement aux premiers algébristes qui en tirent usage, — car elle fut tout d’abord rattachée à des considérations relatives aux « infiniment petits » dont nous ne parlerons que plus tard (Troisième Livre) et qui ne feraient, pour l’instant, que l’obscurcir à nos yeux, — mais telle que se la peut imaginer le lecteur qui est en possession de la notion moderne de dérivée.
567. — C’était, nous l’avons vu, l’un des plus anciens problèmes de la géométrie classique que celui qui a trait à la mesure des aires et des volumes, déterminés, dans le plan ou dans l’espace, par des lignes ou des corps diversement situés. Archimède était passé maître en ce genre de calcul, où il employait avec le plus grand succès la méthode dite d’exhaustion (cf. nos 58, 64). De nombreux géomètres des temps anciens et modernes[1] étudièrent Archimède, le commentèrent et s’engagèrent sur ses traces.
L’une des questions le plus fréquemment posées était la suivante : mesurer ou calculer une aire plane (segment plan) déterminée par une courbe connue et par deux droites rectangulaires, ou bien par une courbe, deux droites parallèles et une troisième : perpendiculaire [telles les aires et couvertes de hachures sur les figures ci-contre]. Ainsi, Archimède avait déterminé la valeur de
- ↑ Voir Trois. Liv., ch. ii § i}.
