Page:Boutroux - Les principes de l’analyse mathématique.djvu/543

l’aire $\mathrm {OMB}$ dans le cas^[1] où l’arc $\mathrm {OM}$ (sur la fig. 209) est un arc de la parabole qui a pour sommet $\mathrm {O}$ et pour axe $\mathrm {OB}$ [cette courbe est telle que les carrés des ordonnées de ses points sont proportionnels^[2] aux abscisses : $y^{2}=2px$ (vide 528) : elle est donc représentative de la fonction $y={\sqrt {(}}2px).$ Généralisant la question, Fermat avait étudié le cas où la courbe $\mathrm {OM}$ ou $\mathrm {MN}$ est une parabole d’un genre supérieur : « J’ai quarré^[3] — écrit-il à Mersenne^[4] en 1636 — infinies figures comprises de lignes

Fig. 209                                                       Fig. 210

courbes ; comme, par exemple, si vous imaginez une figure comme la parabole, en telle sorte que les cubes des appliquées [ordonnées] soient en proportion des [proportionelles aux] lignes qu’elles coupent du diamètre^[5] [abscisses]. Cette figure approchera de la parabole et n’en diffère qu’en ce qu’au lieu qu’en la parabole on prend la proportion des carrés, je prends ici celles des cubes ; et c’est pour cela que M. de Beaugrand à qui j’en lis la proposition l’appelle parabole solide ». La parabole solide est représentative de la fonction $y={\sqrt[{3}]{2px}}\,;$ Fermat « quarre » semblablement les segments plans $\mathrm {OMB}$ déterminés par des paraboles quarré-quarrées, quarré-solides, etc. c’est-à-dire représentatives des fonctions $y={\sqrt[{4}]{2px}},\quad$ $y={\sqrt[{5}]{2px}},$ etc. Or, en cherchant à quarrer les segments plans définis par de telles courbes ou d’autres semblables, on ne pouvait manquer d’apercevoir l’étroite connexité qu’il y a entre ces problèmes de quadrature et la notion de dérivée d’une fonction.

1. Le segment plan est alors un « segment parabolique ».
2. C’est-à-dire que le carré de l’ordonnée d’un quelconque des points de la courbe est égal à l’abscisse multipliée par cm nombre constant.
3. Évalué l’aire de.
4. Œuv, de Fermat, t. II, p. 73.
5. En parlant tout à l’heure de la parabole ordinaire, nous avons supposé que $\mathrm {OB}$ (sur la fig. 209) n’était pas un diamètre quelconque, mais l’axe de la courbe. Les hypothèses de Fermat s’appliquent en réalité à un cas plus général. Comparer, n^o 529.