FONCTIONS PRIMITIVES REPRÉSENTÉES PAR DES AIRES 533
568. - Imaginons que, sur la figure 210, où nous avons tracé deux axes de coordonnées rectangulaires, le point A reste fixe tandis que le point B est variable sur l’axe des x à droite de A : appelons a l’abscisse constante de A, x l’abscisse variable du point B. Supposons, d’autre part, que MN soit un arc d’une courbe quelconque — représentative d’une fonction y = f(x) — compris entre les parallèles à OY menées par A et B : l’aire du segment plan AMNB varie quand x varie (c’est-à-dire quand B se déplace) et sa valeur se trouve (pour chaque position de B) déterminée par la valeur de la variable x. Donc l’aire du segment AMNB est, au sens large du mot, une fonction de x.
Admettons que nous ayons en effet le droit d’assimiler cette aire aux « fonctions » proprement dites, dont nous avons fait plus haut l’étude, et désignons-la par F(x). La fonction F(x) : est évidemment [Fig. 111] continue si la fonction f(x) est elle-même continue, car l’aire AMNB varie arbitrairement peu lorsque B se déplace arbitrairement peu. Nous allons voir, d’autre part, que F(x) admet une dérivée, qui n’est autre que la fonction f(x) d'où nous sommes partis. A partir de la valeur OB'= x + Δx, donnons à la variable indépendante un accroissement Δx : le point N' de la courbe qui a pour abscisse OB’ = x + Δx, a pour ordonnée B’N' = y - Δy [en appelant y (c’est-à-dire f(x) l’ordonnée BN (égale à B K, lig. 211), et Δy l'accroissement KN' subi par cette ordonnée lorsque l’abscisse passe de la valeur x à la valeur x + Δx|. L'accroissement correspondant ΔF de la fonction F(x), c’est-à -dire de l’aire AMNB, est manifestement l’aire BNN’B limitée supérieurement par l’arc NN': la valeur de cette aire est comprise (fig. 211) entre celles des rectangles BNKB’ [de dimensions Δx, y] et BHN’B [de dimensions Δx et y+Δy], donc entre yΔx et (y+Δy)Δx. Son rapport à Δx est par conséquent compris entre y et y + Δy : lorsque l’accroissement Δx et l’accroissement Δy tendent simultanément vers zéro, le rapport ΔF/Δx . — compris entre y et une quantité y — Δy
