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qui tend vers $y$ — a pour limite $y$ ou $f(x)\,:$ nous avons donc, comme nous l’avions annoncé : $\operatorname {F} '(x)=f(x).$

Ainsi l’aire $\mathrm {AMNB}$ limitée au-dessus de l’axe des $x$ par la courbe représentative d’une fonction continue $f(x)$ entre les abscisses $\mathrm {OA} =a$ et $\mathrm {OB} =x$ figure géométriquement une fonction primitive de $f(x).$ Cette fonction primitive n’est déterminée, comme il doit être, qu’à une constante arbitraire près, puisque l’abscisse $a$ des points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {M}$ est arbitraire. Ainsi, en déplaçant la droite $\mathrm {AM}$ sur la figure 211, on forme une aire $\mathrm {A_{1}M_{1}NB}$ qui est, tout comme $\mathrm {AMNB} ,$ une fonction primitive de $f(x)\,:$ les deux fonctions primitives différent entre elles de la valeur du morceau $\mathrm {A_{1}M_{1}MA} ,$ valeur qui est absolument indépendante de la position du point $\mathrm {B}$ et qui est, par conséquent, une constante par rapport à $x$ [voir, pour plus de détails, le Trois. Livr., chap. ii, § 3].

569. — Si la courbe était située au-dessus de l’axe des $x,$ la dimension $\mathrm {BN}$ du petit rectangle \mathrm{BB'KN} (fig. 212 où sont conservées les notations du n^o 568) ne serait pas égale à l’ordonnée $y$ du

Fig. 212                                                       Fig. 213

point $\mathrm {N} ,$ mais bien à $-y,$ puisque $y$ serait négatif. Donc le rapport de l’accroissement de l’aire $\mathrm {AMNB}$ à l’accroissement $\Delta x$ de la variable aurait pour limite $-y,$ pour $\Delta x$ tendant vers $0.$ Mais nous pouvons faire en sorte que ce rapport ait toujours pour limite $y=f(x)$ en adoptant la convention suivante : les aires des segments plans situés au-dessous de l’axe des $x$ seront regardées comme avant des valeurs négatives : si alors l’arc de courbe $\mathrm {MN}$ coupe une ou plusieurs fois l’axe des $x,$ ce que nous appellerons « aire $\mathrm {AMNB}$ » sera la différence entre les aires des surfaces déterminées par l’arc $\mathrm {MN}$ au-dessus et au-dessous de l’axe des $x$ [sur la figure 213 la différence : (aire $\mathrm {AMC} +$aire $\mathrm {DNB} )-$aire $\mathrm {CPD} ]\,;$ l’aire $\mathrm {AMNB}$ sera positive ou négative suivant que les portions situées au-dessus des $x$ l’emporteront ou non sur les portions situées au-dessous.