Moyennant cette convention, l’aire fonction de l’abscisse variable du point aura toujours lorsque croîtra de un accroissement de même signe que et sera par conséquent toujours une fonction primitive
570. Fonctions dont l’intégrale n’est pas calculable. — La construction géométrique (que nous venons d’étudier soulève une question extrêmement importante et délicate (comparer no 565). L’aire que nous avons appelée [je me place, pour simplifier, dans le cas de la fig. 211 où l’arc est tout entier au-dessus de l’axe des ] est, nous l’avons vu, une fonction primitive de Or cette aire existe, évidemment, et se comporte de la même manière aux veux du géomètre, quelle que soit la fonction supposée continue).
Cependant nous savons (no 453) qu’il existe des fonctions continues qui n’ont pas de fonction primitive, du moins tant que nous nous enfermons dans le domaine des fonctions algébriques et transcendantes classiques.
N’y a-t-il point là une dissymétrie choquante ? Et, plutôt que de nous en déclarer satisfaits, ne vaut-il pas mieux élargir notre notion de fonction en considérant la mesure de l’aire [qui varie d’une manière continue lorsque le point se déplace avec continuité] comme définissant en tous cas une fonction de la variable Nous nous bornons pour l’instant à poser la question, car ce sont les fondements mêmes de l’algèbre des fonctions qui se trouvent ici mis en cause. Nous ne devrons toucher à ces fondements qu’à bon escient et lorsque nous serons sûrs de pouvoir les remplacer par d’autres qui soient également solides (voir chap. v et Trois. Liv. chap. i, § 3).
571. — Considérons la courbe représentative d’une fonction Aux valeurs de x pour lesquelles est nulle correspondent des points de la courbe d’ordonnée nulle, donc des points situés sur l’axe des Par conséquent la recherche des racines
