ÉTUDE GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. MÉTHODE D’APPROXIMATION 535
Moyennant cette convention, l’aire AMNB fonction de l’abscisse variable x du point B, aura toujours lorsque x croîtra de Δx) un accroissement de même signe que y = f(x), et sera par conséquent toujours une fonction primitive f(x).
570. Fonctions dont l’intégrale n’est pas calculable. — La construction géométrique (que nous venons d’étudier soulève une question extrêmement importante et délicate (comparer n 565). L’aire que nous avons appelée AMNB [je me place, pour simplifier, dans le cas de la fig. 211 où l’arc MN est tout entier au-dessus de l’axe des x est. nous l’avons vu. une fonction primitive de f(x). Or cettee aire existe, évidemment, et se comporte de la même manière aux veux du géomètre, quelle que soit la fonction f(x) supposée continue).
Cependant nous savons (n 453) qu’il existe des fonctions continues qui n’ont pas de fonction primitive, du moins tant que nous nous enfermons dans le domaine des fonctions algébriques et transcendantes classiques.
N’y a-t-il point là une dissymétrie choquante ! Et, plutôt que de nous en déclarer satisfaits, ne vaut-il pas mieux élargir notre notion de fonction en considérant la mesure de l’aire \M\B qui varie d’une manière continue lorsque le pointB se déplace avec continuité] comme définissant en tous cas une fonction F(x) de la variable x ? Nous nous bornons pour l’instant à poser la question, car ce sont les fondements mêmes de l’algèbre des fonctions qui se trouvent ici mis en cause. Nous ne devrons toucher à ces fondements qu’à bon escient et lorsque nous serons sûrs de pouvoir les remplacer par d’autres qui soient également solides (voir chap. N et Trois. Lie. clmp. 1, § 3).
6. Étude graphique des équations, Méthodes d’approximation
571. — Considérons la courbe représentative d’une fonction y = f(x). Aux valeurs de x pour lesquelles f(x) est nulle correspondent des points de la courbe d’ordonnée nulle, donc des points situés sur l’axe des x. Par conséquent la recherche des racines
