Page:Boutroux - Les principes de l’analyse mathématique.djvu/90

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

(c’est-à-dire intérieur à la circonférence et ayant ses quatre sommets $\mathrm {A,B,C,D}$ sur son contour : la mesure (exacte ou très approchée) du contour de ce carré est une mesure approchée par défaut^[1] de la longueur du cercle. Considérons au contraire (fig. 21) le carré $\mathrm {ABCD}$ circonscrit (extérieur au cercle et dont chaque côté est tangent au cercle, c’est-à-dire le touche en un seul point); la mesure du contour de ce carré est une

polygones inscrits, circonscrits à un cercle ; approximation

Fig. 20 Fig. 21

mesure approchée par excès de la longueur du cercle. Envisageons ensuite sur la figure 20, au lieu du carré $\mathrm {ABCD} ,$ le polygone à huit côtés égaux (octogone régulier) $\mathrm {AEBFCGDH}$ qui est inscrit dans le cercle (ses huit sommets sont sur le cercles ; la mesure du contour de cet octogone est une nouvelle valeur approchée par défaut de la longueur du cercle, valeur plus approchée que la précédente : pareillement, sur la figure 21, la mesure du contour de l’octogone régulier^[2] $\mathrm {A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}G_{1}H_{1}}$ est une mesure approchée par excès (plus approchée que la valeur donnée par le carré $\mathrm {A'B'C'D'}$ ) de la longueur du cercle.

Supposons, maintenant, que nous considérions, non plus un carré où un octogone, mais un polygone régulier^[3], ayant beaucoup plus de côtés, tous très petits, et dont la figure se rapproche par conséquent autant que nous le voulons de la figure même du

↑ Je regarde comme évident que le contour d’un carré ou polygone inscrit est moindre que le contour de la circonférence, tandis que le contour d’un carré ou polygone circonscrit est supérieur. On le voit immédiatement sur la figure.
↑ Sur l’emploi des lettres affectées d’indices, voir p. 20, note 2.
↑ Un polygone dont les côtés et les angles sont égaux (comme il arrive pour l’octogone $\mathrm {AEBFCGDH}$ de la figure 20) est appelé polygone régulier (cf. Euclide, Éléments, livr. IV),

[1] Je regarde comme évident que le contour d’un carré ou polygone inscrit est moindre que le contour de la circonférence, tandis que le contour d’un carré ou polygone circonscrit est supérieur. On le voit immédiatement sur la figure.

[2] Sur l’emploi des lettres affectées d’indices, voir p. 20, note 2.

[3] Un polygone dont les côtés et les angles sont égaux (comme il arrive pour l’octogone $\mathrm {AEBFCGDH}$ de la figure 20) est appelé polygone régulier (cf. Euclide, Éléments, livr. IV),

[1]

[2]

[3]