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cercle^[1] ; ce polygone peut être inscrit dans le cercle (c’est-à-dire intérieur au cercle, ses sommets étant tous sur le cercle, exemple : le polygone $\mathrm {ABCD} \ldots$ sur la figure 22), ou circonscrit au cercle extérieur, chacun de ces côtés touchant le cercle en un point, exemple : le polygone $\mathrm {A'B'C'D'} \ldots$ sur la figure 22 ; la mesure du contour du polygone est toujours, dans le premier cas, une mesure approchée par défaut, dans le second cas une mesure approchée par excès de la longueur du cercle ; l’approximation est d’ailleurs arbitrairement grande (vide n°47) ; aussi dit-on que les périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits ont pour limite la longueur du cercle lorsqu’on leur donne un nombre de côtés de plus en plus grand.

86. Remarque. – Pour justifier rigoureusement ces conclusions, on prouve que la mesure du contour d’un polygone inscrit et celle du contour d’un polygone circonscrit sont arbitrairement rapprochées l’une de l’autre lorsque les polygones ont suffisamment de côtés ; il en résulte que l’une et l’autre donnent bien^[2] des valeurs arbitrairement approchées de la longueur du cercle.

1. En donnant au polygone de plus en plus de côtés nous épuisons progressivement l’aire du cercle : d’où le mot « exhaustion ».
2. puisque la longueur du cercle est comprise (voir p. 79, note 1) entre les longueurs de ces deux contours, Que ce complément de démonstration, détaillé avec soin par Archimede, soit effectivement nécessaire, c’est ce dont on se convaincra si l’on fait attention au fait suivant. De ce qu’un contour polygonal, auquel on donne de plus en plus de côtés, tend vers une ligne géométrique connue (c’est-à-dire a une figure qui diffère de moins en moins de cette ligne) il ne résulte pas que la longueur du contour ait limite la longueur de la ligne pour connue. Donnons-nous, par exemple (fig. 23) un triangle équilatéral $\mathrm {ABC} ,$ et considérons successivement les contours polygonaux suivants :

   $\mathrm {BDEFC} ,$ à $4$ côtés ($\mathrm {D,E,F}$ étant le milieu des côtés du triangle) ;

   $\mathrm {BGHIEJKLC} ,$ à $8$ côtés $\mathrm {G,H,I}$ étant les milieux des côtés du triangle $\mathrm {BDE}$ et $\mathrm {J,K,L}$ les milieux des côtés du triangle $\mathrm {EFC}$) ;

   puis les contours à $16,32,\ldots ,$ côtés, qui se déduisent les uns des autres d’après le même procédé.

   Ces divers contours ont pour limite la ligne $\mathrm {BC} .$ Cependant on démontre