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67. – Voilà comment ont raisonné les géomètres^[1]. Mais c’est ici que surgit l’anomalie, out, du moins, ce qui fut longtemps considéré comme tel. Le contour du carré $\mathrm {ABCD} ,$ celui de l’octogone régulier $\mathrm {AEBFCGDH} ,$ ou celui d’un polygone régulier, inscrit ou circonscrit, ayant un nombre an de côtés, tous ces contours ont des mesures qui peuvent être définies déduites de l’unité, au moyen d’opérations arithmétiques commues^[2] ; ainsi le contour du carré $\mathrm {ABCD}$ a pour mesure exacte $4\times {\sqrt {2}}$ (le sens de l’expression « mesure exacte » étant élargi comme il a été dit au n^o 63) ; le contour du carré circonscrit $\mathrm {A'B'C'D'}$ a pour mesure $8\,;$ le contour de l’octogone $\mathrm {AEBFCGDH}$ (fig. 21 a pour mesure $8\times \left(2-{\sqrt {2}}\right),$ etc. Pourra-t-on, semblablement, indiquer une combinaison d’opérations connues dont le résultat définisse la mesure de la circonférence ? La réponse est négative^[3], mais les géomètres ont été longs à s’en convaincre, et les tentatives faites, vingt siècles durant, pour trouver une expression arithmétique de la longueur du cercle, se comptent par milliers. L’une des plus célèbres est celle de Grégoire de Saint-Vincent auteur de l’Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni, 1647, qui fut combattue par Descartes, Pascal, Huygens. Aujourd’hui encore, les Académies Scientifiques sont saisies presque chaque année de nouvelles solutions du problème de la « rectification » ou « quadrature » du cercle. Et cependant, l’impossibilité de la résolution de ce problème^[4], pressentie par Legendre et Euler, a été prouvée en toute rigueur,

que leurs longueurs sont toutes égales entre elles et égales an double du côté du triangle équilatéral.

↑ Ils ont aussi imaginé de nombreuses méthodes indirectes qui conduisent à des résultats équivalents.
↑ Ce sont là des conséquences immédiates des théorèmes de la géométrie métrique (voir chap. iii, § 3).
↑ Et cela, en donnant aux mots « opérations connues » qui figurent dans l’énoncé de la question, l’acception la plus générale qu’ils puissent comporter. On ne peut former (vide infra, Deux. Liv.), aucune équation $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0}=0$ de quelque degré que ce soit, dont les coefficients $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{0}$ soient des nombres rationnels et qui ait pour racine (valeur de l’inconnue $x$ ) la mesure de la longueur du cercle de rayon $1.$
↑ Il existe par contre certaines courbes (autres que le cercle) ; dont la longueur exacte est mesurée par un nombre rationnel pouvant être calculé. De telles courbes sont dites rectifiables.

[1] Ils ont aussi imaginé de nombreuses méthodes indirectes qui conduisent à des résultats équivalents.

[2] Ce sont là des conséquences immédiates des théorèmes de la géométrie métrique (voir chap. iii, § 3).

[3] Et cela, en donnant aux mots « opérations connues » qui figurent dans l’énoncé de la question, l’acception la plus générale qu’ils puissent comporter. On ne peut former (vide infra, Deux. Liv.), aucune équation $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0}=0$ de quelque degré que ce soit, dont les coefficients $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{0}$ soient des nombres rationnels et qui ait pour racine (valeur de l’inconnue $x$ ) la mesure de la longueur du cercle de rayon $1.$

[4] Il existe par contre certaines courbes (autres que le cercle) ; dont la longueur exacte est mesurée par un nombre rationnel pouvant être calculé. De telles courbes sont dites rectifiables.

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