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en 1882, par le professeur Lindemann^[1] de l’Université de Munich.

Ainsi, la mesure de la circonférence par rapport au rayon (pris pour unité) ne peut être définie au moyen d’opérations arithmétiques que d’une manière approximative. Tout ce qu’en peut dire l’arithméticien, c’est, par exemple, qu’elle est comprise entre^[2] $2\times 3{,}1415926535$ et $2\times 3{,}1415926536,$ valeurs que l’on pourra toujours préciser en calculant de nouvelles décimales.

La circonférence dont le rayon a pour mesure un nombre $r$ est $r$ fois plus grande. Sa mesure est comprise entre $2\times r\times 3{,}1415\ldots 5$ et $2\times r\times 3{,}1415\ldots 6.$

Ajoutons qu’au lieu d’une fraction décimale, on peut utiliser, pour représenter la mesure du cercle avec une approximation arbitrairement grande, d’autres types d’expressions arithmétiques dont nous nous occuperons plus loin (§ 7).

68. – La demi-longueur de la circonférence de rayon $1$ est désignée, d’ordinaire, par la lettre $\pi .$ On exprime l’impossibilité de la « rectification » du cercle (au sens du n^o 63 en disant que la longueur et le nombre qui la mesure sont transcendants^[3].

69. – Après les mesures de longueurs, il convient d’étudier les mesures d’aires et de volumes. Mais ici nous rencontrons une difficulté. Il est absolument impossible, en effet, de mesurer les surfaces et les corps sans tenir compte de leurs figures et sans invoquer certains théorèmes de géométrie pure dont nous ne nous occuperons que plus loin (chap. iii). Cependant, afin de ne pas séparer en deux tronçons la théorie de la mesure, nous avons cru

↑ Berichte der Berliner Akademie, 1882, II.
↑ Ces valeurs approchées ont été données par Viète (Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII. 1597, chap. xv : Geometrica κύκλου μέτρησις, bene proxima verae), Archimède, dans sa κύκλου μέτρησις avait indiqué les valeurs : $2\times \left(3+{\frac {1}{7}}\right)$ (approchée par défaut) et $2\times \left(3+{\frac {10}{71}}\right).$ Des valeurs tout aussi approchées furent données par les mathématiciens hindous qui sans doute les trouvèrent indépendamment des Grees bien qu’ils vinssent sept siècles plus tard (Leçons de calcul d’Argabhata, trad. Rodet, Journ. asiatique, t. XIII. p. 199 et suiv.).
↑ Quantitas transcendens dit Leibnitz, Acta eruditorum, 1763, p. 20 (Continuatio analyseos quadraturarum et Math. Werk., V, p. 15.

[1] Berichte der Berliner Akademie, 1882, II.

[2] Ces valeurs approchées ont été données par Viète (Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII. 1597, chap. xv : Geometrica κύκλου μέτρησις, bene proxima verae), Archimède, dans sa κύκλου μέτρησις avait indiqué les valeurs : $2\times \left(3+{\frac {1}{7}}\right)$ (approchée par défaut) et $2\times \left(3+{\frac {10}{71}}\right).$ Des valeurs tout aussi approchées furent données par les mathématiciens hindous qui sans doute les trouvèrent indépendamment des Grees bien qu’ils vinssent sept siècles plus tard (Leçons de calcul d’Argabhata, trad. Rodet, Journ. asiatique, t. XIII. p. 199 et suiv.).

[3] Quantitas transcendens dit Leibnitz, Acta eruditorum, 1763, p. 20 (Continuatio analyseos quadraturarum et Math. Werk., V, p. 15.

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