théorèmes, compléter les figures sur lesquelles elle raisonne en y adjoignant (par la pensée tout au moins) certains points, ou lignes, ou surfaces auxiliaires. Les opérations qu’elle effectue reviennent donc, en définitive, à des constructions théoriques de certaines figures géométriques qui sont en relation avec les figures données (sur le sens du mot construction en géométrie, voir ch. iii, § 5.
C’est par de tels moyens, nous l’avons vu, qu’Archimède a dés terminé la longueur de la circonférence. C’est également par de tels moyens que la géométrie rationnelle enseigne à calculer les aires et les volumes formés par les figures les plus simples.
Cherchons à mesurer l’aire d’un rectangle (quadrilatère dont les quatre angles sont droits, sachant que les côtés et ont respectivement pour mesures (par rapport à l’unité de longueur) les nombres et
Supposons, en premier lieu, que les nombres et soient entiers.
Nous considérerons d’abord le rectangle dont les côtés,
et ont pour mesures et (fig. 25). Portant sur la longueur de mesure je construis le carré dont la surface sera prise pour unité d’aire (no 69). Or on voit immédiatement qu’autant de fois la longueur contient la longueur-unité autant la bande rectangulaire contient de carrés égaux à Donc l’aire de cette bande rectangulaire a pour mesure le nombre | mètres carrés si l’unité de longueur est le mètre|. Cela dit, le rectangle contient évidemment autant de bandes rectangulaires égales à que le côté contient de fois la longueur-unité il en contient donc J’en conclus que le rectangle proposé contient carrés égaux à l’unité d’aire : il a pour mesure le produit [1].
Si les nombres et au lien d’être entiers, étaient simplement rationnels, on parviendrait à la même conclusion à condition de
- ↑ C’est pourquoi le produit de deux nombres cardinaux est dit nombre plan : il représente une surface (portion du plan), celle d’un rectangle.
