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prendre une unité auxiliaire contenue un nombre exact (entier) de fois^[1] dans $a$ et dans $b.$

Supposons maintenant que les longueurs $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {CD}$ n’aient point de mesures exactes (nombres rationnels) par rapport à l’unité $\mathrm {BB_{1}} .$ En ce cas nous ne pouvons donner du rectangle $\mathrm {ABC}$ (par rapport à l’unité d’aire) qu’une mesure approchée. Désignant par $\alpha ,\beta$ des mesures arbitrairement approchées de $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {CD} ,$ nous pouvons construire un rectangle dont les côtés aient pour mesure $\alpha$ et $\beta$ et qui recouvre avec une approximation arbitrairement grande le rectangle donné. Plus les mesures $\alpha$ et $\beta$ seront approchées, plus le produit $\alpha \times \beta$ sera une mesure approchée du rectangle $\mathrm {ABCD} .$

Ces remarques nous conduisent à regarder en tout cas la construction d’un rectangle dont les côtés sont des longueurs données $\mathrm {AB,CD} ,$ comme une opération équivalente à la multiplication arithmétique. Nous dirons que l’aire du rectangle $\mathrm {ABCD}$ (rectangle construit sur $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {CD}$ ) est le « produit^[2], à des deux longueurs $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {CD}$ |appelées « dimensions » du rectangle|. Pour avoir une mesure exacte on approchée de ce produit, on n’a qu’à faire le produit des mesures exactes ou approchées des deux longueurs.

D’ailleurs, en conséquence des théorèmes de la géométrie, la « construction » d’un rectangle dont on connaît deux dimensions est toujours réalisable avec la règle et le compas^[3]. La multiplication géométrique est donc une opération parfaitement et rigoureusement définie.

74. – Ces préliminaires posés, si nous démontrons d’une aire donnée quelconque qu’elle est égale n^o 55 à l’aire d’un rectangle

↑ Cela est toujours possible puisque les fractions qui ont pour valeurs $a$ et $b$ peuvent toujours être réduites au mème dénominateur. Soit $n$ ce dénominateur : la $n$ ^ième partie de l’unité de surface sera l’unité auxiliaire requise.
↑ Au lieu de dire que le rectangle est un produit, les anciens employaient le mot rectangle (rectangle de deux quantités, rectangle de deux nombres) dans le sens où nous prenons le mot produit. Nous avons nous-mêmes continué à appeler carré le produit d’un nombre par lui-même. Le carré d’une longueur $\mathrm {AB}$ est désigné par le symbole $\mathrm {AB} ^{2}.$
↑ Prenant sur une droite un segment $\mathrm {AB}$ ayant pour longueur une dimension $a$ du rectangle, il faudra mener en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ des perpendiculaires à $\mathrm {AB}$ (sur lesquelles on prendra des longueurs égales à $b$ ) : or c’est là une construction que la géométrie rationnelle enseigne à faire très simplement (vide infra, 214).

[1] Cela est toujours possible puisque les fractions qui ont pour valeurs $a$ et $b$ peuvent toujours être réduites au mème dénominateur. Soit $n$ ce dénominateur : la $n$ ^ième partie de l’unité de surface sera l’unité auxiliaire requise.

[2] Au lieu de dire que le rectangle est un produit, les anciens employaient le mot rectangle (rectangle de deux quantités, rectangle de deux nombres) dans le sens où nous prenons le mot produit. Nous avons nous-mêmes continué à appeler carré le produit d’un nombre par lui-même. Le carré d’une longueur $\mathrm {AB}$ est désigné par le symbole $\mathrm {AB} ^{2}.$

[3] Prenant sur une droite un segment $\mathrm {AB}$ ayant pour longueur une dimension $a$ du rectangle, il faudra mener en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ des perpendiculaires à $\mathrm {AB}$ (sur lesquelles on prendra des longueurs égales à $b$ ) : or c’est là une construction que la géométrie rationnelle enseigne à faire très simplement (vide infra, 214).

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