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Remplaçant $u^{\prime }$ par $90^{\circ }-u$, et $v^{\prime }$ par $90^{\circ }-v$, afin d’éliminer $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$, on obtient
xx$\sin[180^{\circ }-(u+v)]=\sin(90^{\circ }-u)\cos(90^{\circ }-v)+\sin(90^{\circ }-v)\cos(90^{\circ }-v)$
xx$\cos[180^{\circ }-(u+v)]=\cos(90^{\circ }-u)\cos(90^{\circ }-v)+\sin(90^{\circ }-u)\sin(90^{\circ }-v)$

Or on a

$\sin[180^{\circ }-(u+v)]=\ \ \ \;\sin(u+v),\qquad \sin(90^{\circ }-u)=\cos u,$
xxxx $\cos[180^{\circ }-(u+v)]=-\cos(u+v),\qquad \cos(90^{\circ }-v)=\sin v.$

En substituant ces valeurs dans les deux égalités précédentes, on trouve

(p)	$\sin(u+v)=\sin u\cos v+\sin v\cos u,$
	$\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v\;;$

ce qui montre que la règle exprimée par les formules (8) s’applique aussi au cas de deux arcs dont la somme ne surpasse pas 180°, chacun étant moindre que 90°.

2^o Les deux formules démontrées pour les deux arcs u et v sont encore vraies si l’on augmente ces deux arcs d’un nombre quelconque de quadrants.

En effet, ajoutons d’abord 90° à l’arc u ; soit

$m=u+90^{\circ }$,xx d’où xx$u=m-90^{\circ }$.

Remplaçant u par cette valeur dans les formules (p), nous aurons

$\sin(m-90^{\circ }+v)=\sin(m-90^{\circ })\cos v+\sin v\cos(m-90^{\circ })$,
xxx $\cos(m-90^{\circ }+v)=\cos(m-90^{\circ })\cos v-\sin(m-90^{\circ })\sin v$.

Or, quand on change le signe d’un arc, son cosinus ne change pas, mais le sinus prend un signe contraire (n^o 60) ; on aura donc

$\sin(m-90^{\circ }+v)=-\sin[90^{\circ }-(m+v)]=-\cos(m+v),$

$\cos(m-90^{\circ }+v)=\cos[90^{\circ }-(m+v)]=\sin(m+v),\quad$

$\sin(m-90^{\circ })=-\sin(90^{\circ }-m)=-\cos m,$

$\cos(m-90^{\circ })=\cos(90^{\circ }-m)=\sin m.\quad$