En substituant ces valeurs dans les deux égalités précédentes, on trouve
Cette démonstration fait voir qu’on pourrait augmenter l’arc m encore d’un quadrant, puis d’un second, etc., ainsi que l’arc v ; donc les formules (8) sont vraies pour deux arcs quelconques
positifs.
3o Démontrons maintenant que les formules
(9)
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sont vraies, quels que soient les arcs positifs a et b.
Soit .
On peut augmenter a d’un nombre entier positif de circonférences assez grand pour que l’arc soit positif, ce qui ne change pas le sinus et le cosinus.
Les deux arcs et étant positif, on a
xxx
On peut ôter un nombre entier de circonférences à ces arcs sans altérer les lignes trigonométriques ; on a donc
xxxx
ou
xxxx
ce qui démontre la question.
4o Les formules s’appliquent aussi au cas où les deux arcs seraient négatifs.
En effet, on a