or on a aussi
on obtiendra, par la substitution de ces valeurs,
on aurait de même
Ainsi, pour trouver le sinus et le cosinus de la somme de deux arcs négatifs, on doit suivre la même règle que pour deux arcs positifs.
63. Autre démonstration des formules (8) et (9).
Soient (fig. 22) deux arcs quelconques
et
; l’arc
sera égal à
.
Si l’on tire
et
perpendiculaires à
et
parallèle à
Fig. 22.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Bovier-Lapierre_-_Trait%C3%A9_%C3%A9l%C3%A9mentaire_de_trigonom%C3%A9trie_rectiligne_1868%2C_illust_p104.png/250px-Bovier-Lapierre_-_Trait%C3%A9_%C3%A9l%C3%A9mentaire_de_trigonom%C3%A9trie_rectiligne_1868%2C_illust_p104.png)
, on aura
![{\displaystyle \mathrm {MP} =\sin a,\ \mathrm {LQ} =\sin b,\ \mathrm {OQ} =\cos b,\ -\mathrm {OP} =\cos a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0819f2ccf1c49eab9e2ba08b3e5b9f9e19427852)
d’où
.
Le triangle
donne, d’après le no 30,
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {ML} }}^{2}={\overline {\mathrm {MO} }}^{2}+{\overline {\mathrm {LO} }}^{2}-2\mathrm {MO} \times \mathrm {LO} \cos \mathrm {MOL} =2-2\cos(a-b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf996d7ca1d52e4fb2dcab480258af0e3bc6317)
.
Le triangle rectangle
donne aussi
-----
En effectuant les carrés, et en se rappelant qu’on a
,
on trouve
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {ML} }}^{2}=2-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d39acce71a4f4ffc5c6c438ed0d807781c0d1b)
.