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En résolvant ces deux équations par la méthode ordinaire, on trouve

$\sin a=\pm {\frac {k}{\sqrt {1+k^{2}}}},\qquad \cos a=\pm {\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}}}}$.

Il faut observer que, pour une tangente donnée $k$, on trouve deux sinus égaux et de signes contraires, et qu’il en est de même pour le cosinus. En effet, la tangente donnée $k$ correspondant non-seulement à l’arc $a$, mais à tous les arcs représentés par la formule (33) $n\pi +a$, on doit obtenir le sinus et le cosinus de tous ces arcs, c’est-à-dire $\sin(n\pi +a)$ et $\cos(n\pi +a)$.

Or tous ces sinus se réduisent à deux, ainsi que ces cosinus.
En effet, si on prend $n$ pair, on a

${\begin{aligned}\sin(n\pi +a)&=\sin a,\\\cos(n\pi +a)&=\cos a\;;\end{aligned}}$

car une ligne trigonométrique ne change pas quand son arc est augmenté ou diminué d’un nombre entier de circonférences.

Si on prend $n$ impair, on a, pour la même raison,

${\begin{aligned}\sin(n\pi +a)&=\sin(\pi +a)=-\sin a,\\\cos(n\pi +a)&=\cos(\pi +a)=-\cos a.\end{aligned}}$

Cela est facile à vérifier sur une figure.

65. Problème. — Calculer $\sin {\frac {a}{2}}$ et $\cos {\frac {a}{2}}$ en fonction de $\sin a$.

Prenons les équations

$2\sin {\frac {a}{2}}\cos {\frac {a}{2}}=\sin a,\qquad \sin ^{2}{\frac {a}{2}}+\cos ^{2}{\frac {a}{2}}=1$,

fournies par les formules (10) et (1).

En représentant $\sin {\frac {a}{2}}$ par $x$ et $\cos {\frac {a}{2}}$ par $y$, on a à résoudre les équations

$2xy=\sin a,\qquad x^{2}+y^{2}=1$.