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En additionnant membre à membre, on a

$x^{2}+y^{2}+2xy=1+\sin a$,

d’où

$x+y=\pm {\sqrt {1+\sin a}}$.

En retranchant la première de la seconde, membre à membre, on a

$x^{2}+y^{2}-2xy=1-\sin a$,

d’où

$x-y=\pm {\sqrt {1-\sin a}}$.

Connaissant ainsi la somme et la différence des inconnues, on obtient

(34)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$x=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {1+\sin a}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {1-\sin a}},$

$y=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {1+\sin a}}\mp {\frac {1}{2}}{\sqrt {1-\sin a}}.$

Il y a donc pour $\sin {\frac {a}{2}}$ et pour $\cos {\frac {a}{2}}$ quatre valeurs qui sont égales deux à deux et de signes contraires : c’est ce que met en évidence le tableau suivant :
$\sin ^{I}{\frac {a}{2}}\ \ =+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}+{\sqrt {1-\sin a}}\right),\;\cos ^{I}{\frac {a}{2}}\ \ =+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}-{\sqrt {1-\sin a}}\right);$
$\sin ^{II}{\frac {a}{2}}\ =-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}+{\sqrt {1-\sin a}}\right),\;\cos ^{II}{\frac {a}{2}}\ =-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}-{\sqrt {1-\sin a}}\right);$
$\sin ^{III}{\frac {a}{2}}=+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}-{\sqrt {1-\sin a}}\right),\;\cos ^{III}{\frac {a}{2}}=+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}+{\sqrt {1-\sin a}}\right);$
$\sin ^{IV}{\frac {a}{2}}=-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}-{\sqrt {1-\sin a}}\right),\;\cos ^{IV}{\frac {a}{2}}=-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}+{\sqrt {1-\sin a}}\right).$

Les quatre valeurs de $\cos {\frac {a}{2}}$ sont les mêmes que celles de $\sin {\frac {a}{2}}$. Nous allons voir qu’il en devait être ainsi.

En effet, les équations doivent donner le sinus et le cosinus de la moitié de tous les arcs correspondant au sinus donné,