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$\mathrm {NAB^{\prime }}$ augmenté d’un nombre entier de demi-circonférences négatives.

Les arcs de la première et de la troisième séries ont leur origine en $\mathrm {A}$ et se terminent en $\mathrm {N}$ et en $\mathrm {N^{\prime }}$. Leurs sinus sont $\mathrm {NP}$ et $-\mathrm {N^{\prime }P^{\prime }}$, égaux et de signes contraires ; leurs cosinus sont $\mathrm {OP}$ et $-\mathrm {OP^{\prime }}$, égaux et de signes contraires.

Les arcs de la deuxième et de la quatrième séries ont leur origine en $\mathrm {N}$ et se terminent en $\mathrm {B}$ et en $\mathrm {B^{\prime }}$. Leurs sinus sont $\mathrm {BH}$ et $-\mathrm {B^{\prime }H^{\prime }}$, égaux et de signes contraires ; leurs cosinus sont $\mathrm {OH}$ et $-\mathrm {OH^{\prime }}$, égaux et de signes contraires.

Il est facile de démontrer ensuite qu’on a

$\mathrm {NP=OH}$ et $\mathrm {BH=OP}$ ;

car l’égalité des triangles rectangles $\mathrm {ONQ}$, $\mathrm {OBH}$, donne

$\mathrm {NP=OQ=OH}$.

Ainsi, les quatre racines sont $\mathrm {NP,\;-N^{\prime }P^{\prime },\;OP,\;-OP^{\prime }}$.

Remarque. — Lorsque le sinus d’un arc a est donné en même temps que l’arc, il n’y a plus qu’une des quatre solutions qui convienne pour le sinus et le cosinus de la moitié de cet arc. Le choix ne présente aucune difficulté.

D’abord, d’après l’arc lui-même, on verra si $\sin {\frac {a}{2}}$ est positif ou négatif. S’il est positif, par exemple, il reste à chercher quelle est celle des deux racines positives qu’on doit prendre pour $\sin {\frac {a}{2}}$ : or ces deux racines sont l’une $\sin {\frac {a}{2}}$ et l’autre $\cos {\frac {a}{2}}$. Tout se réduira donc à connaître, d’après la valeur de ${\frac {a}{2}}$, si le sinus est plus grand ou plus petit que le cosinus.

FIN.