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Construction des racines. — Soit $\mathrm {OC} =\sin a$ ; menons par le point $\mathrm {C}$ la droite $\mathrm {M^{\prime }M}$ parallèle à $\mathrm {A^{\prime }A}$, et prenons $\mathrm {AN}$ égal à ${\frac {1}{2}}\mathrm {AM}$ (fig. 23).

Tous les arcs correspondant au sinus donné sont :

$\mathrm {AM}$, et $\mathrm {AM}$ augmenté d’un nombre entier de circonférences positives ;

$\mathrm {ABM^{\prime }}$, et $\mathrm {ABM^{\prime }}$ augmenté d’un nombre entier de circonférences positives ;

$\mathrm {AB^{\prime }M}$, et $\mathrm {AB^{\prime }M}$ augmenté d’un nombre entier de circonférences négatives ;

$\mathrm {AB^{\prime }M^{\prime }}$, et $\mathrm {AB^{\prime }M^{\prime }}$ augmenté d’un nombre entier de circonférences négatives.

Fig. 23.

On a donc à construire les sinus et cosinus des arcs suivants :

1^o $\mathrm {{\frac {AM}{2}}=AN}$, et $\mathrm {AN}$ augmenté d’un nombre entier de demi-circonférences positives ;

2^o $\mathrm {{\frac {ABM^{\prime }}{2}}={\frac {180^{\circ }-AM}{2}}=90^{\circ }-AN=NB}$, et $\mathrm {NB}$ augmenté d’un nombre entier de demi-circonférences positives ;

3^o $\mathrm {{\frac {AB^{\prime }M}{2}}={\frac {-360^{\circ }+AM}{2}}=-180^{\circ }+AN=AB^{\prime }N^{\prime }}$, et $\mathrm {AB^{\prime }N^{\prime }}$ augmenté d’un nombre entier de demi-circonférences négatives ;

4^o $\mathrm {{\frac {AB^{\prime }M^{\prime }}{2}}=-\left({\frac {180^{\circ }+AM}{2}}\right)=-(90^{\circ }+AN)=NAB^{\prime }}$, et