Ainsi, la tangente d’un arc < 90° est positive, c’est-à-dire qu’elle est située au-dessus du diamètre mené à l’origine A de l’arc ; la tangente d’un arc > 90° est négative, c’est-à-dire qu’elle est placée au-dessous de ce diamètre.
À mesure que l’arc augmente au-delà de 90°, l’extrémité M′ se rapproche de A′, et le point T′ se rapproche de A, et quand M′ est en A′, le point T′ est en A. Ainsi, de 90° à 180°, la tangente varie de l’infini à zéro, en conservant toujours le signe . La tangente de 90° est tout à la fois égale à et à . Elle prend le signe quand on arrive à 90° en partant d’un arc plus petit, et le signe quand on y arrive en partant d’un arc plus grand.
Si la corde MM′ est parallèle à AA′, l’arc AM est le supplément de l’arc ABM′, et AT′ est égal à AT à cause de l’égalité des triangles rectangles AOT, AOT′. Donc, quand deux arcs sont supplémentaires, leurs tangentes sont égales et de signes contraires.
On a ainsi .
9. Variations de la sécante. — Pour un arc infiniment petit à partir de A, la sécante est égale au rayon. À mesure que l’arc grandit, la sécante grandit aussi, et à 90° la sécante est infinie comme la tangente. Si l’arc AM est égal à 45°, les deux côtés de l’angle droit du triangle rectangle AOT sont égaux au rayon, ce qui donne ou .
On a donc , , .
Considérons un arc ABM′ > 90°. La sécante OT′, partant du point O, devrait passer par M′ d’après la définition de la sécante ; or, pour rencontrer la tangente, elle prend une position directement contraire à celle qu’elle aurait dû avoir. Pour indiquer que la sécante a cette position, on met le signe devant le nombre qui exprime la longueur de OT′ par rapport au rayon. La sécante d’un arc < 90° doit alors être regardée comme étant précédée du signe . Ainsi le signe mis devant une sécante
