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Si l’arc AM a 45°, le triangle rectangle OMP est isoscèle et donne

${\overline {{\text{MP}}^{2}}}+{\overline {{\text{OP}}^{2}}}={\overline {{\text{OM}}^{2}}}$  ou  ${\overline {2{\text{MP}}^{2}}}=1$  ou  ${\overline {{\text{MP}}^{2}}}={\frac {1}{2}}$ ;

de là

${\text{MP}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\sqrt {\frac {2}{4}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$  ; donc  $\sin {45^{\circ }}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}=0{,}707$

c’est-à-dire 707 fois la 1000^e partie du rayon.

8. Variations de la tangente. — Pour un arc infiniment petit à l’origine A, la tangente est infiniment petite, et elle augmente à mesure que l’arc augmente, car le point de rencontre T de la droite tangente en A et de la droite menée par les points O et M s’éloigne de plus en plus. Quand l’arc est égal à 90°, ce point de rencontre est infiniment éloigné ; en d’autres termes, ces deux droites sont parallèles. La tangente de 90° est donc infinie.

Si l’arc AM a 45°, la tangente AT est égale au rayon OA. Donc

$\operatorname {tang} \;0^{\circ }=0$, $\operatorname {tang} \;45^{\circ }=1$, $\operatorname {tang} \;90^{\circ }=\infty$ (^[1]).

Soit un arc ABM′ > 90°. La droite menée par le centre O et la seconde extrémité de l’arc ne rencontre la tangente menée en A qu’au-dessous du diamètre AA′ ; la tangente de l’arc ABM′ est donc AT′. Mais cette tangente a une position directement contraire à celle qu’elle avait lorsque l’arc était < 90°. Pour indiquer cette position, on met le signe $-$ devant le nombre qui exprime la longueur de AT′ par rapport au rayon, et on regarde la tangente AT, située au-dessus, comme ayant le signe $+.$

1. Le caractère $\infty$ représente une valeur infiniment grande. Il en est de même du quotient ${\tfrac {n}{0}}$, dans lequel le dividende n est un nombre quelconque. En effet, plus le diviseur devient petit, plus le quotient est grand, et quand le diviseur est infiniment petit, c’est-à-dire zéro, le quotient est infiniment grand.