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2° Les angles B et C étant complémentaires, $\sin \mathrm {B}$ est égal à $\cos \mathrm {C}$, et $\sin \mathrm {C}$ est égal à $\cos \mathrm {B}$. En remplaçant $\sin \mathrm {B}$ et $\sin \mathrm {C}$ par ces valeurs dans les égalités (2), on a

xxxx(3)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$b=a\cos \mathrm {C} ,$

$c=a\cos \mathrm {B} .$

Donc, dans tout triangle rectangle, chaque côté de l’angle droit est égal à l’hypoténuse multipliée par le cosinus de l’angle adjacent à ce côté.

On pourrait aussi obtenir ces égalités au moyen des triangles semblables ABC, BMP.

3^o En divisant membre à membre les égalités $b=a\sin \mathrm {B}$, et $c=a\cos \mathrm {B}$, on obtient

${\frac {b}{c}}\ =\ {\frac {\sin \mathrm {B} }{\cos \mathrm {B} }},\$ ou $b\ =\ c\operatorname {tang} \mathrm {B} ,$

avec les égalités $c=a\sin \mathrm {C}$ et $b=a\cos \mathrm {C}$, on trouverait de la même manière ${\frac {c}{b}}\ =\ {\frac {\sin \mathrm {C} }{\cos \mathrm {C} }},\$ ou ${\frac {c}{b}}\ =\ \operatorname {tang} \mathrm {C} .$
on a ainsi :

xxxx(4)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$b=c\operatorname {tang} \mathrm {B} ,$

$c=b\operatorname {tang} \mathrm {C} .$

Donc, dans tout triangle rectangle, chaque côté de l’angle droit est égal à l’autre multiplié par la tangente de l’angle opposé au premier.

On pourrait aussi obtenir ces égalités au moyen des triangles semblables BTN, BCA, en observant que BN est la tangente de l’angle B.

4^o En remplaçant tang B par cotg C et tang C par cotg B dans les égalités (4), on obtient

xxxx(5)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$b=c\operatorname {cotg} \mathrm {C} ,$

$c=b\operatorname {cotg} \mathrm {B} .$

Donc, dans tout triangle rectangle, chaque côté de l’angle droit est égal à l’autre côté multiplié par la cotangente de l’angle adjacent au premier côté.