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Ce cas est tout à fait semblable au premier.

26. Troisième cas. — Étant donnés le côté b et l’hypoténuse a, trouver le côté c et les angles B et C.

On cherche d’abord le côté c en se rappelant que le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés. On a d’après cela $a^{2}=b^{2}+c^{2},$ ou $c^{2}=a^{2}-b^{2},$ d’où

$c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.$

Ce résultat donne lieu à la remarque suivante :

Tous les calculs pour la résolution des triangles doivent être effectués par logarithmes. Or, pour obtenir le côté c, il faudrait d’abord faire le carré de a, puis celui de b, ensuite retrancher le second du premier, et enfin extraire la racine carrée du reste. De cette manière l’emploi des logarithmes n’abrégerait pas les calculs ; de plus, on devrait opérer sur des nombres et sur des logarithmes, et non pas sur des logarithmes seulement. Pour cette raison, on dit que l’expression $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ n’est pas calculable par logarithmes.

Or la différence des carrés de deux quantités est égale au produit de la somme de ces deux quantités par leur différence. Par conséquent, $a^{2}-b^{2}$ peut être remplacé par $(a+b)\times (a-b),$ et on a pour trouver le côté c

$c={\sqrt {(a+b)\times (a-b)}},$

d’où

$\log {c}={\tfrac {1}{2}}\,[\log {(a+b)}+\log {(a-b)}].$

Ainsi on fera d’abord la somme $a+b$ et la différence $a-b,$ après quoi il n’y aura qu’un seul calcul de logarithmes à effectuer.

Exemple. — On donne a = 56^m,427 ; b = 32^m,741 ; calculer c, B et C.