Page:Bovier-Lapierre - Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne 1868.djvu/41

On trouve ensuite C en retranchant B de 90°. Pour le côté a, on a $b=a\sin \mathrm {B} ,$ d’où $a={\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}.$

28. Remarque. — Dans le troisième cas on aurait pu aussi résoudre le triangle en cherchant d’abord l’angle B par l’égalité $b=a\sin \mathrm {B} ,$ qui donne $\sin \mathrm {B} ={\frac {b}{a}}.$ Mais on doit autant que possible employer la tangente ou la cotangente, car l’angle ainsi obtenu est affecté d’une erreur moindre que lorsqu’il est déterminé par le sinus ou le cosinus.

En effet, soient deux arcs $\mathrm {AI} ,\ \mathrm {AI^{\prime }}$ voisins de 90° et n’ayant entre eux qu’une petite différence $\mathrm {I\,I^{\prime }}$ (fig. 7). À mesure que les points $\mathrm {I^{\prime }}$ et $\mathrm {I}$ se rapprochent

Fig. 7.

de B, la corde $\mathrm {I^{\prime }\,I}$ tend à devenir parallèle au diamètre $\mathrm {A^{\prime }A} ;$ par conséquent les deux sinus $\mathrm {P^{\prime }I^{\prime }}$ et $\mathrm {PI}$ sont presque égaux, et leur différence finit par être moindre que 1 unité décimale d’un ordre très-petit. Donc leurs logarithmes finissent aussi par différer d’une quantité moindre que 1 unité du cinquième ordre décimal. Il résulte de là que si des arcs voisins de 90° diffèrent peu l’un de l’autre, les logarithmes de leurs sinus, jusqu’à la cinquième décimale, seront égaux, et qu’il y aura incertitude pour savoir quel est l’angle véritable qui correspondra à un $\log \sin .$ C’est ce qui se présente pour les trois angles 88°7′, 88°8′, 88°9′ dont les sinus ont le même logarithme ${\overline {1}},99977.$

Maintenant, soit d la différence entre les logarithmes des sinus des deux angles a et b tels que $b=a+1^{\prime }.$

Si $\log \sin a$ augmentait de d, l’angle a augmenterait de $60^{\prime \prime }$ et serait égal à b.