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En effet, dans tout triangle, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres plus le double produit de l’un de ces côtés multiplié par la projection de l’autre côté sur celui-ci, si l’angle opposé au premier côté est obtus, moins ce double produit si cet angle est aigu.

Considérons le côté AB opposé à l’angle aigu C (fig. 8 ).
D’après ce théorème, on a

$c^{2}\,=\,a^{2}+b^{2}-2a\times \mathrm {CD}$.

Or, le triangle rectangle ACD donne $\mathrm {CD} \,=\,\mathrm {AC} \cos \mathrm {C} \,=\,b\cos \mathrm {C}$ ; en substituant cette valeur dans l’égalité précédente, on obtient

$c^{2}\,=\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \mathrm {C}$.

Si l’angle C est obtus, comme dans la figure 9, on a

$c^{2}\,=\,a^{2}+b^{2}+2a\times \mathrm {CD}$.

Mais le triangle rectangle CAD donne $\mathrm {CD} \,=\,b\cos \mathrm {ACD}$ ; or, les angles ACD et ACB étant supplémentaires, $\cos \mathrm {ACD} \,=\,-\cos \mathrm {ACB}$, et, par conséquent, on a $\mathrm {CD} \,=\,b\cos \mathrm {ACB} \,=\,-b\cos \mathrm {C}$.

En substituant cette valeur dans l’égalité précédente, on obtient encore

$c^{2}\,=\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \mathrm {C}$.

Ainsi le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, moins le double produit de ces deux côtés multiplié par le cosinus de l’angle opposé au premier.

Ce théorème est exprimé par les égalités suivantes :

xxxx(7)xxxxxxxxxxxxxxx

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$a^{2}\,=\,b^{2}+c^{2}-2bc\cos \mathrm {A}$.

$b^{2}\,=\,a^{2}+c^{2}-2ac\cos \mathrm {B}$.

$c^{2}\,=\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \mathrm {C}$.

et A sont égaux comme ayant tous deux pour mesure la moitié de l’arc BMC. En représentant le rayon par r, on a donc

${\frac {{\frac {1}{2}}\mathrm {BC} }{r}}\,=\,\sin \mathrm {A}$, ou ${\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}\,=\,2r$.