blème a donc deux solutions.
En d’autres termes, on trouve deux triangles différents ayant tous deux un angle égal à A et deux côtés égaux à a et b, le côté égal à a étant opposé à l’angle A.
Dans le premier triangle, l’angle opposé au côté b est aigu ; dans le second, il est obtus.
Désignons par B′ cet angle obtus qui est le supplément de l’angle aigu B ; nous aurons le troisième angle C′ de ce second triangle d’après l’égalité
.
Le côté c′ opposé à l’angle C′ sera donné par la relation
![{\displaystyle {\frac {c^{\prime }}{\sin \mathrm {C^{\prime }} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f397df9a99423b3aaecbfe1d1d9db970befbad3e)
,
xxd’où
xx![{\displaystyle c^{\prime }={\frac {a\sin \mathrm {C^{\prime }} }{\sin \mathrm {A} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38746e500cb20ab4c8aca1874441473bf5b41037)
.
Exemple. — Dans un triangle, on a a = 64m,28, b = 75m,34, A = 36° 25′ 14′′ ; calculer le côté c et les angles B et C.
D’après ce qui vient d’être dit, ce problème présente deux solutions.
Calcul de B et de B′.
![{\displaystyle {\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4729cac3ecc349de312061b76c54aa1fe9dd3f01)
,
![{\displaystyle \sin \mathrm {B} ={\frac {b\sin \mathrm {A} }{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bef2c18c7ecc5ae2e4881ce34d6b51d99e89d7a)
,
![{\displaystyle \log \sin \mathrm {B} =\log b+\log \sin \mathrm {A} -\log a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ba190d9ee5608005de5b4d633da14f986d5818)
,
![{\displaystyle \mathrm {B} ^{\prime }=180-\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c19665b009aa82e7562c850cdcd65daf4f7e5b)
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log b&=1{,}87703\\\log \sin \mathrm {A} &={1}{,}77357\\-\log a&={\overline {2}}{,}19192\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6082160522f925b3480b5c733afb737ce2e13b0f)
![{\displaystyle \log \sin \mathrm {B} ={\overline {1}}{,}84252}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a09ae625999208e54f540e5e0d1ccf479c32f2)
![{\displaystyle 44^{\circ }5^{\prime }\ \ \ldots \ldots \ldots \ \ 42}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3443c2d2846e9608f527e89b41b7e74c99f87ce2)
xxxxxxxx
![{\displaystyle \qquad 46^{\prime \prime }\ \ \ldots \ldots \ \ 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c6eb9a3a0012867d0dd0ffded52d00d5a82113)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \quad \ \ 60}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809ace73fa2d83b72895135d882c7f70120c6929)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \quad {\tfrac {\qquad }{}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e6363951b51e445627f01933b1d3743d7061af)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \qquad \qquad \qquad 600&|13\\80&|{\overline {46}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3095b02386bddd9252eae6ec21f676a14e54f093)