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exemple, $\cos(a+b)=-{\rm {OQ}}$, ou, en changeant les signes des deux membres,

$-\cos(a+b)=\mathrm {OQ=QH-OH=CK-OH}$.

Au moyen des mêmes triangles semblables, on trouvera encore $\mathrm {CK} =\sin a\sin b$, et $\mathrm {OH} =\cos a\cos b$ ; on aura donc $-\cos(a+b)=\sin a\sin b-\cos a\cos b$, ou, en changeant les signes des deux membres,

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$.

Dans les formules relatives à $\sin(a-b)$ et $\cos(a-b)$, l’arc b est toujours inférieur à l’arc a. Le cas où le contraire aurait lieu n’appartient pas à la théorie de la résolution des triangles : cette question sera d’ailleurs traitée d’une manière complète au chapitre XII.

En réunissant les formules trouvées, on a le tableau suivant :

xxxx(8)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a,$

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$

xxxx(9)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a,$

$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.$

36. Problème II. — Étant donnés le sinus et le cosinus d’un arc, trouver le sinus et le cosinus du double de cet arc.

Les formules (8) étant vraies quels que soient les arcs a et b, dont la somme ne surpasse pas 180°, on peut y supposer b égal à a, ce qui donne

xxxx(10)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin 2a=2\sin a\cos a,$

$\cos 2a=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a.$

37. Problème III. — Étant donné le cosinus d’un arc, trouver le sinus et le cosinus de la moitié de cet arc.

L’arc a étant le double de l’arc ${\frac {a}{2}}$, si on remplace a par ${\frac {a}{2}}$ dans